1.3线性映射和线性变换

线性映射：

回顾：

线性函数的中心性质：线性组合的函数=函数的线性组合
即$x\Rightarrow k_1x_1+k_2x_2$时，$f(x_1)\Rightarrow k_1f(x_1)+k_2f(x_2)$， 本质为自变量与因变量之间保持着组合形式不变的关系

二维：

下图为映射的集合示意图：(无论k取值，原点一定会映射到原点)

在二维空间中，笛卡尔坐标系如图：

图中穿过一三象限的直线即为一元函数$y=kx$，元素之间通过直线完成了映射（仔细发现这条直线像一个反光镜一样）

三维：

${\left( {\frac{y_1}{y_2}} \right) }={\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}}{\left( {\frac{x_1}{x_2}} \right) }$

可以看出满足比例性和可加性：

对于变换$Y=KX$，这里的变量$x$不仅仅只代表是向量，更代表的是一类图形 当k是一个数字时，$k>0$时是对$X$进行放大，$0<k<1$时，即进行缩小

线性变换

区别线性映射和线性变换的概念：如果一个映射是发生在一个集合中的同一个坐标系下的，这个线性映射被称为线性变换
换言之，线性变换就是线性映射的特例，将线性映射中的两个坐标系合并为一个了
我们给出一个线性映射的例子如图：

这个映射将${\Pi_1}$中的圆进行映射，$(maybe \,是一个椭圆，或是圆、线段或者原点)$，我们将这个线性映射变成线性变换，如图：

此时原来的圆和它的像在一个平面上（一个线性空间中）
我们接下来再看一个线性变换的例子：即在三维笛卡尔坐标中将每个向量投影在坐标面$xoy$上

这个变换是线性的，为什么呢?因为它显然满足了可加性和比例性（加法和数乘不受影响的变换），它与线性空间的运算相适应。我们给出数学证明：
$T(ka,kb,kc)=(ka,kb,0)=k(a,b,0)=k{\cdot}T(a,b,c)\,,满足比例性。$
$T(a_1+a_2,b_1+b_2.c_1+c_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2,0)=(a_1,b_1,0)+(a_2,b_2,0)=T(a_1,b_1,c_1)+T(a_2,b_2,c_2)\;满足可加性$

线性变换的定义：

数域F上的线性空间V中的变换T若满足以下条件，则称为线性变换,$a,b{\in}V$,（注意我们这里的条件运算是对于线性空间V来说的）
$T(a+b)=T(a)+T(b)$
$T(ka)=kT(a)$