1.2 线性的意义

线性函数的概念：

在小学时，我们将$y=kx+b$定义为线性函数，现在严格来讲，只有当$b=0$时，$Y=kx$过原点的函数才定义为线性函数（这里的“线性”特指线性代数中的“线性”）
线性的满足条件是什么呢：

1. 可加性:$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
2. 比例性：$f(kx_1)=kf(x_1)$
   

将这两个条件合并将得到公式

$f(k_1x_1+k_2x_2)=k_1f(x_1)+k_2f(x_2)$ 即线性组合的函数=函数的线性组合，这里面既有叠加（可加性）的物理意义也有缩放（比例性）的物理意义

线性函数的推广：

定义： $\left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\ x_n \end{array}\right)=X$, $\left( \begin{array}{ccc} y_1 \\ y_2 \\ y_3\\ y_n \end{array}\right)=Y$, 由原来的$y=kx$推广为$Y=KX$
这里的$K=\left( \begin{array}{ccc} k_{11} & k_{12} & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & k_{2n}\\ ...&...&...\\ k_{m1}&k_{m2}&k_{mn} \end{array}\right)$
这里的变量由原来的一个变量，拓展为一个竖排数组，而系数k，也拓展为一个系数矩阵 我们可以看到，向量X通过矩阵K，变换为了数组Y，矩阵K决定了这个变换，所以一个矩阵也对应着一个变换

多元线性函数的几何意义

二维坐标中，$f(x)=kx$,在三维坐标中，$f(x_1,x_2)=k_1x_1+k_2x_2$,
在三维坐标中，我们知道$k_1x_1+k_2x_2$是一个平面，且它是由平面$y=x_1$平面和$y=x_2$平面线性生成的，在几何角度来讲，新生成的该平面会夹在原先两个平面之间。 如图：

我们可以看到，这个n元图形总是低于坐标系一个维度的，（生成的图形是低于坐标系维度的“子空间”） 我们把这个高维的坐标系称为“空间”，而将这个低一维的几何图形称为“超平面”
超平面对应三维空间中的平面，平面内的直线，线上的点

此时，在多元线性函数中的“线性”，不再单纯理解成一条线，而是将线性函数几何图形想象成一个平面更具代表性，由于线性函数的运算简单，我们在一定范围内将复杂函数近似为线性函数进行运算