【动态规划】day77_ 494. 目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入： nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出： 5
解释： 一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入： nums = [1], target = 1
输出： 1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

题解：

思路：dp

类01背包问题:

• 设pos为取+的数字和,neg为取-的数字和(均为正数),则target=pos-neg=pos-(sum-pos)=2*pos-sum
• 故pos=(sum+target)/2>=0且为常数,因此此问题等价于求有多少种方式用nums[i]凑成和为pos
• 进而该问题抽象为:用价值与体积均为nums[i]的物品,恰好凑满容量为pos的背包方案数

1. 状态定义:dp[j]为恰好能凑满容量为j的背包方案数
2. 状态转移:背包容量能或者不能装下nums[i]。 当不能装下nums[i]时,方案数直接继承之前的dp[j； 当能装下nums[i]时,总的方案数为不考虑nums[i]的方案数+有nums[i]参与新增的方案数； dp[j] += dp[j - nums[i]],dp[j - nums[i]]种方案与nums[i]共同凑成pos,即1*dp[j - nums[i]]
3. 状态初始化:dp[0]=1,因为后面总会一直查找至j=0,如dp[3] += dp[3-3],空集是任意一条有效路径的起点,当属一条
4. 遍历顺序:i正序,j倒序
5. 返回形式:dp[pos]就是凑成pos总的方案数

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n)

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int len = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int num : nums) sum += num;
        // pos为小数||target绝对值比sum还大
        if ((sum + target) % 2 == 1 || Math.abs(target) > sum) return 0;
        int pos = (sum + target) / 2;
        int[] dp = new int[pos + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int num : nums) {
            for (int j = pos; j >= num; j--) {
                dp[j] += dp[j - num];
            }
        }
        return dp[pos];
    }
}