计算机体系结构习题总结第九章互连网络互连网络是一种由开关按照一定拓扑结构和控制方式构成的网络，用来实现计算机系统中

本文题目出自清华大学出版社计算机系统结构教程第 3 版第九章习题。

概念补充

混洗交换单级网络 = 全混（Perfect Shuffle）+交换（Exchange）。

\text{Shuffle}(P_{n-1}P_{n-2}\cdots P_1P_0)=P_{n-2}\cdots P_1P_0P_{n-1}

相当于对序列进行循环左移，式中， $n=\log_2 N$ ， $P_{n-1}P_{n-2}\dots P_1P_0$ 为入端编号的二进制码。

由于单纯的全混互连网络不能实现二进制编号为全“ 0 ”和全“ 1 ”的处理单元与其他处理单元的连接，因此 还需增加 Cube0 交换函数 。

在这里插入图片描述

实线表示交换，虚线表示全混。

特点：在混洗交换网络中，最远的两个入、出端号是全“ 0 ”和全“ 1 ”，它们的连接，需要经过 n 次交换和 n-1 次混洗，所以混洗交换网络的最大距离为 $2n-1$ 。

第一问

32 个处理器采用 5 位二进制表示。

\begin{aligned} \text{Cube}_2(12)&=\text{Cube}_2(01100\text{B})=01000\text{B}=8\\ \sigma(8)&=\sigma(01000\text{B})=10000\text{B}=16\\ \beta(9)&=\beta(01001\text{B})=11000\text{B}=24\\ \text{PM2I}_{+3}(28)&=\text{PM2I}_{+3}(11100\text{B})=(11100\text{B}+01000\text{B})\mod 2^5=4\\ \text{Cube}_0(\sigma(4))&=\text{Cube}_0(\sigma(00100\text{B}))=\text{Cube}_0(01000\text{B})=01001\text{B}=9\\ \sigma(\text{Cube}_0(18))&=\sigma(\text{Cube}_0(10010\text{B}))=\sigma(10011\text{B})=00111\text{B}=7 \end{aligned}

第二问

网络直径为

2n-1=2\times5-1=9

从 5 号处理机（00101B）发送到 7 号处理机（00111B）最短路径需要 6 步，包括 5 步左移和 1 步求反：

00101\text{B}\rightarrow01010\text{B}\rightarrow10100\text{B}\rightarrow01001\text{B}\rightarrow10010\text{B}\rightarrow10011\text{B}\rightarrow00111\text{B}

第三问

循环移数网络的网络直径为 $\lceil n/2 \rceil$ 。

为 3 。

第一问

N 个输入的不同排列数为 $N!$ 。

第二问

N 个输入端、输出端的 Omega 网络有 $n=\log_2N$ 级开关级，每级开关级有 $N/2$ 个 2 $\times$ 2 的 4 功能开关，总共有 $(N/2)\times\log_2N$ 个开关。

置换连接是指网络的输入端与输出端的一对一连接，故只考虑 2 $\times$ 2 开关的2个功能状态，即直送与交叉。网络采用单元控制，因此，每个开关都根据连接要求处于 2 个功能状态中的一种状态，所以，由 $(N/2)\times\log_2N$ 开关组成的 Omega 网络的开关状态的种数为：

2^{(N/2)\log_2N}=N^{N/2}

第三问

若 N = 8 ，则一次通过能实现的置换数占全部排列的百分比为：

\frac{N^{N/2}}{N!}=\frac{8^{4}}{8!}=\frac{4096}{40320}=10.16\%

Omega 网络使用的 2 $\times$ 2 开关有 4 种状态：直送、交叉、上播、下播。

置换连接只使用直送和交叉状态，播送连接还需要使用上播和下播状态。

分别画出实现处理机 P6 和 P3 的播送连接要求使用的开关状态，如果没有开关状态和开关输出端争用冲突，就可以使用播送连接。实际上，它们的播送要求没有冲突，因此，可以同时实现，同时实现的 Omega 网络开关状态图如下所示：