整除性

用户157638507212
177 阅读1分钟

整除性

定义：设a,b∈Z,如果存在一个q∈Z,使得a=qb，则称b整除a，记为b∣a定义：设a,b \in Z,如果存在一个q \in Z,使得a=qb，则称b整除a，记为 b \mid a

整除的性质

  1. 自反性：a∣aa \mid a
  2. 传递性：若b∣ab \mid a且a∣ca \mid c ， 则 b∣cb \mid c
  3. 相乘性：b∣a⇒bc∣acb \mid a \Rightarrow bc \mid ac
  4. 消去性：bc∣acbc \mid ac 且c≠0，⇒b∣a c \ne 0，\Rightarrow b \mid a
  5. 线性性：b∣a,b∣c⇒∀s,t∈Z,b∣(sa±tc) b \mid a ,b \mid c \Rightarrow \forall s,t \in Z, b \mid (sa \pm tc)
  6. 比较性：a,b∈N,b∣a⇒b≤a a,b \in N,b \mid a \Rightarrow b \le a


  • ∀x∈Z,x∣0 \forall x \in Z ,x \mid 0
  • ∀x∈Z,1∣x \forall x \in Z ,1 \mid x
  • b∣a⇔b∣−a⇔−b∣ab \mid a \Leftrightarrow b \mid -a \Leftrightarrow -b \mid a

相关定理

设a,b∈Z,则b∣a且a∣b当且仅当b=±a特别的a∣1,当且仅当a=±1设a,b \in Z,则b \mid a且 a \mid b 当且仅当 b = \pm a \\ 特别的 a \mid 1,当且仅当 a = \pm 1

素数

∀n∈N,n>1,n是质数⇔∀a,b∈Z,n=ab⇒a=1或b=1 \forall n \in N, n>1, n 是质数 \Leftrightarrow \forall a,b \in Z, n=ab \Rightarrow a=1 或 b=1

相关定理

1.任何大于1的整数必有素因子

证明如下

Snipaste_2024-01-26_17-18-41.png

2.任何合数n都有一个不超过n\sqrt{n} 的素因子

证明如下

Snipaste_2024-01-26_17-18-41.png

3.算数基本定理

任何非零整数n可以表示成如下的乘积形式n=±p1e1p2e2...prer其中p1...pr是互不相同的素数,e1...er是正整数,n=±1是r=0的情况任何非零整数n可以表示成如下的乘积形式 \\ n = \pm p_{1}^{e_1}p_{2}^{e_2}...p_{r}^{e_r} \\ 其中 p_1...p_r是互不相同的素数,e_1...e_r是正整数, n = \pm 1是r=0的情况

4.欧几里得定理

素数有无穷多个，证明如下

Snipaste_2024-01-26_17-18-41.png

模运算

a mod b:设a,b∈Z且b>0,如果q,r∈Z满足a=qb+r且0≤r<b.则定义a mod b=ra \ mod \ b : 设 a,b \in Z 且b>0,如果q,r \in Z 满足 a = qb+r 且 0 \le r < b.则定义 a \ mod \ b =r

模运算的性质

b∣a⇔a mod b=0(a+b) mod n=(a mod n+b mod n) mod n(a−b) mod n=(a mod n−b mod n) mod n(a×b) mod n=(a mod n×b mod n) mod n(ab) mod p=(a mod p)b mod pb \mid a \Leftrightarrow a \ mod \ b =0 \\ (a+b) \ mod \ n = (a \ mod \ n + b \ mod \ n) \ mod \ n \\ (a-b) \ mod \ n = (a \ mod \ n - b \ mod \ n) \ mod \ n \\ (a \times b) \ mod \ n = (a \ mod \ n \times b \ mod \ n) \ mod \ n \\ (a^b) \ mod \ p = (a \ mod \ p)^b \ mod \ p

最大公约数

设a,b∈Z,如果d∈Z且d∣a,d∣b,则称d是a和b的公因子(公约数) 设 a,b \in Z,如果 d \in Z 且 d \mid a, d \mid b, 则称d 是 a和b的公因子(公约数) \\

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数公约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为gcd(a，b),特别的gcd(0,0)=0

设 gcd(a,b)=d gcd(a,b) = d则存在q1,q2∈Zq_1,q_2 \in Z,使得a=q1d,b=q2da= q_1 d,b = q_2 d 且 gcd(q1,q2)=1gcd(q_1,q_2)=1

互素

设a,b∈Za,b \in Z,若gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1 则a,ba,b互素

gcd(a,b)=1⇔a,bgcd(a,b) = 1 \Leftrightarrow a,b的公因子只有 ±1\pm 1

贝祖定理

设a,b∈Z,d=gcd(a,b)a,b \in Z,d = gcd(a,b),则 ∃s,t∈Z{\exists}s,t \in Z 使得 as+bt=das+bt = d
特别的gcd(a,b)=1⇔as+bt=1gcd(a,b)=1 \Leftrightarrow as+bt =1
可以用扩展的欧几里得算法求解贝祖定理中的s,t

最小公倍数

公倍数

设a,b∈Z如果m∈Z分别是a,b的倍数，则m称作a,b的公倍数设 a,b \in Z 如果 m \in Z 分别是a,b的倍数，则m称作a,b的公倍数

最小公倍数

lcm(a,b)即a,b的最小公倍数

  • a,b≠ \neq0,lcm(a,b)是a,b所有正的公倍数中最小的
  • a=0或b=0 可得lcm(a,b)=0

推论

  1. 设m=lcm(a,b),如果a∣c,b∣c,则m∣c设m=lcm(a,b),如果a\mid c,b \mid c,则m \mid c
  2. 若gcd(a,b)=1⇒lcm(a,b)=ab若gcd(a,b)=1 \Rightarrow lcm(a,b)=ab
  3. lcm(a,b)=abgad(a,b)lcm(a,b) = \frac{ab}{gad(a,b)}
avatar
文章
阅读
粉丝