前置概念

首先介绍闭包的概念，闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合，例如：

由 $A$ 可直接得到 $B$ 和 $D$ ，间接得到 $C$ ，则 $A$ 的闭包 $A^+$ 就是 $\{A, B, C, D\}$ 。

闭包的定义 有几种不同的说法：

设 $X$ 是函数依赖集，被 $X$ 逻辑蕴涵的函数依赖全体构成的集合，称为函数依赖集 $X$ 的闭包，记为 $X^+$ 。

设 $X$ 和 $Y$ 均为关系 $R$ 的属性集的子集， $F$ 是 $R$ 上的函数依赖集，若对 $R$ 的任一属性集 $B$ ，一旦 $X\rarr B$，必有$B\subseteq Y$，且对 $R$ 的任一满足以上条件的属性集 $Y_1$ ，必有 $Y\subseteq Y_1$ ，此时称 $Y$ 为属性集 $X$ 在函数依赖集 $F$ 下的闭包，记作 $X^+$ 。

计算关系 $R$ 的属性集 $X$ 的闭包的步骤如下：

• 第一步：设最终将成为闭包的属性集是 $Y$ ，把 $Y$ 初始化为 $X$ ；
• 第二步：检查 $F$ 中的每一个函数依赖 $A \rarr B$，如果属性集 $A$ 中所有属性均在 $Y$ 中，而 $B$ 中有的属性不在 $Y$ 中，则将其加入到 $Y$ 中；
• 第三步：重复第二步，直到没有属性可以添加到属性集 $Y$ 中为止。 最后得到的 $Y$ 就是 $X^+$ 。

下面列举几道关于闭包的例题：

例 1 . 已知关系模式 $R<U,F>$ ，其中属性集 $U=\{A,B,C,D,E\}$ ， $F=\{AB \rarr C, B \rarr D, C \rarr E, EC \rarr B, AC \rarr B\}$ ，求属性集 $AB$ 在函数依赖集 $F$ 下的闭包 $(AB)^+$ 。

解析：$AB$ 可以推出 $C$ ， $C$ 可推出 $E$ ， $B$ 可推出 $D$ ，由此可知 $AB$ 的闭包包含了 $U$ 中的所有属性集，因此

例 2 . 已知关系模式 $R<U,F>$ ，其中属性集 $U=\{A,B,C,D\}$ ， $F=\{A \rarr B, B \rarr C, D \rarr B \}$ ，求 $A^+$ 、 $(AD)^+$ 、 $(BD)^+$ 。

解析：$A$ 推出 $B$ ，$B$ 推出 $C$ ，所以 $A$ 的闭包为 $ABC$ 。 $AD$ ， $BD$ 同理可得，因此，

范式的判断步骤

范式是符合某一种级别的关系模式的集合。关系数据库中的关系必须满足一定的要求, 满足不同程度要求的为不同范式。满足最低要求的范式是第一范式（1NF）。在第一范式的基础上进一步满足更多要求的称为第二范式（2NF）, 其余范式以此类推。一般说来, 数据库只需满足第三范式（3NF）就行了。

第一范式：主属性（主键）不为空且不重复, 字段不可再分(存在非主属性对主属性的部分依赖)。

第二范式：如果关系模式是第一范式, 每个非主属性都没有对主键的部分依赖。

第三范式：如果关系模式是第二范式, 没有非主属性对主键的传递依赖和部分依赖。

BCNF 范式：所有属性都不传递依赖于关系的任何候选键。

对范式的判断可依据以下流程图，

例 1 . 已知关系模式 $R<U,F>$ ，其中属性集 $U=\{A,B,C\}$ ， $F=\{A \rarr B, B \rarr A, C \rarr A \}$ ，该关系模式最高属于第几范式？

1. 首先判断候选码

   分别找出只在左边出现、左右都出现、右边出现的键。（其实能找到只在左边出现的键后，求闭包，若能导出全部的集合，便可以省去求 LR 和 R ，如果左边的不能求出全集，就要和 LR 组合求闭包）

   只在左边出现（ L ）： $C$

   左右都出现（ LR ）： $A$ 、 $B$

   只在右边出现（ R）：无

   因此候选码为 $C$ ，非主属性为 $A$ 、 $B$ 。

2. 接下来，按照以下流程依次判断： 部分依赖 、 传递依赖 、 左边都是候选码 。

   1. 判断是否为 1NF

      （一般来说，基本所有的范式都要满足 1NF ）

   2. 判断是否为 2NF

      只有一个候选码 $C$ ，且候选码中只包含一个属性（就一个字母），所以不可能存在部分函数依赖。

   3. 判断是否为 3NF

      这里 $C\rarr A,A\rarr B$ ，且 $A \not\rarr C$ ，即这里 $C$ 可以通过 $A$ 传递推出 $B$ ，容易忽略的一点，就是还要满足 $A \not\rarr C$ ，就是 $A$ 不能直接导出 $C$ 。

      因此这里存在非主属性对候选码的 传递依赖 。该关系属性最高符合第二范式。

例 2 . 已知关系模式 $R<U,F>$ ，其中属性集 $U=\{A,B,C,D\}$ ， $F=\{B \rarr D, D \rarr B, AB \rarr C \}$ ，该关系模式最高属于第几范式？

1. 判断候选码

   只在左边出现（ L ）： $A$

   左右都出现（ LR ）： $B$ 、 $D$

   只在右边出现（ R）：$C$

   只在左边出现的 $A$ 显然不是候选码，因此要和 LR 组合求闭包。

   求得 $(AB)^+=U，(AD)^+=U$ ，（ $D\rarr B，AB\rarr C$ ），因此候选码有 $(A,B)$ 和 $(A,D)$ ，非主属性为 $C$ 。

2. 接下来，按照以下流程依次判断： 部分依赖 、 传递依赖 、 左边都是候选码 。

   1. 判断是否为 2NF

      $AB\rarr C$ ，非主属性 $C$ 完全依赖于候选码 $AB$ ，该关系模式至少满足 2NF 。

   2. 判断是否为 3NF

      不存在非主属性对候选码的传递依赖，该关系模式至少满足 3NF 。

   3. 判断是否为 BCNF

      当候选码为 $(A,B)$ 时， $D\rarr B$ ，不满足左边都是候选键，不满足 BCNF ，故为 3NF 。

例 3 . 已知关系模式 $R<U,F>$ ，其中属性集 $U=\{A,B,C\}$ ， $F=\{A \rarr B, B \rarr A, A \rarr C \}$ ，该关系模式最高属于第几范式？

1. 判断候选码

   只在左边出现（ L ）：无

   左右都出现（ LR ）： $A$ 、 $B$

   只在右边出现（ R）：$C$

   这里 L 为无，因此利用 LR 求闭包。

   求得 $A^+=U，B^+=U$ ，因此候选码有 $A$ 和 $B$ ，非主属性为 $C$ 。

2. 接下来，按照以下流程依次判断： 部分依赖 、 传递依赖 、 左边都是候选码 。

   1. 判断是否为 2NF

      候选码中只包含一个属性（就一个字母），所以不可能存在部分函数依赖。该关系模式至少满足 2NF 。

   2. 判断是否为 3NF

      这里 $B\rarr A,A\rarr C$ ，但 $A \rarr B$ ，因此这里不存在非主属性对候选码的 传递依赖 。该关系模式至少满足 3NF 。

   3. 判断是否为 BCNF

      候选码有 $A$ 和 $B$ ，因此左边都是候选键。该关系模式满足 BCNF 。

例 4 . 已知关系模式 $R<U,F>$ ，其中属性集 $U=\{A,B,C,D\}$ ， $F=\{A \rarr B, A \rarr C, A \rarr D, BC \rarr A\}$ ，该关系模式最高属于第几范式？

1. 判断候选码

   只在左边出现（ L ）：无

   左右都出现（ LR ）： $A$ 、 $B$ 、 $C$

   只在右边出现（ R）： $D$

   这里 L 为无，因此利用 LR 求闭包。

   求得 $A^+=U，(BC)^+=U$ ，因此候选码有 $A$ 和 $BC$ ，非主属性为 $D$ 。

2. 接下来，按照以下流程依次判断： 部分依赖 、 传递依赖 、 左边都是候选码 。

   1. 判断是否为 2NF

      $A\rarr D$ ， $BC\rarr D$ ，非主属性 $D$ 完全依赖于候选码，该关系模式至少满足 2NF 。

   2. 判断是否为 3NF

      这里 $BC\rarr A,A\rarr D$ ，但 $A \rarr BC$ ，因此这里不存在非主属性对候选码的 传递依赖 。该关系模式至少满足 3NF 。

   3. 判断是否为 BCNF

      候选码有 $A$ 和 $BC$ ，因此左边都是候选键。该关系模式满足 BCNF 。