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形式语言与自动机学习（一）

挖坑待填（指本课程不含有但需要是由其自动过渡的知识或涉及的重要知识）：

计算理论：计算机的基本能力和限制是什么？
- 可计算理论--哥德尔不完备：存在不可计算的问题
- 计算复杂性理论--解决问题的占用资源及其原因？p与np？
计算的形式化：
- 图灵机
- lamda理论

为了研究以上计算理论，我们需要建立一定的计算模型，于是诞生了形式语言与自动机。

自动机理论：
- 图灵机
- 有限自动机
- 文法？下推自动机
形式语言：经过数学定义的语言。

在自然语言中，我们使用字符，即基本元，经过排列形成单词，单词形成句子，句子与句子，单词与单词的语法构建了一门自然语言。在化学分子式中也存在一套体系，在我们学习的高级程序设计语言，机器语言也同样如此，他们存在一定类似之处，我们试图将概念本身从中抽离出来，我们赋予一个名称，形式语言。

自动机的处理对象是形式语言，形式语言被自动机形式化的定义。

基本概念

为了描述好我们给出的名词，我们需要定义一些基本概念。基本概念里的概念在此不再被定义。

字母表：符号（字符）的非空有穷集。例二进制字母表和英语字母表

{\sum}_1 = {0,1},

{\sum}_2 = {a,b,...,z}

字符串：由某字母表中符号组成的有穷序列

如果\sum{0,1},那么0，1，00，11001是\sum_1上的字符串

特别地，空串：表示有0个字符的字符串，记作
$\epsilon,\epsilon \notin\sum，\sum是一个任意的字母表$
基于递归定义基本运算：
- 字符串的长度：字符串中符号所占1位置的个数。用||表示
  - 递归定义：

屏幕截图 2024-01-21 001727.png

字符串的连接：若字符串x和字符串y进行连接，用xy表示连接。
- 递归定义：

屏幕截图 2024-01-21 001936.png

字符串幂运算：字符串x的n（n>=0）次幂
- 递归定义：

屏幕截图 2024-01-21 002131.png 其中x的0次幂为0可以理解为一个重复0次x的字符串，显然字符串为0，理解上是很自然的。

集合A的幂运算：集合A的n（n>=0）
- 递归定义：

屏幕截图 2024-01-21 002502.png

克林闭包（Kleene Closure）：
${\sum}^* = \mathbb{U}_{i = 0}^{∞}{\sum}^i.$
正闭包(Positive Closure)：
${\sum}^+ = \mathbb{U}_{i = 1}^{∞}{\sum}^i.$

{\sum}^* = {\sum}^+ + \{\epsilon\}

语言

定义

有了这些基本概念，我们可以很好的描述语言的定义。

若\sum 为字母表，∀L \subseteq {\sum}^*,则L称为\sum上的语言

可以感性的理解为字母表的幂运算的集合，这个集合包含一系列字符串。

在语言中，所有的字母表都是有穷的。

关于语言的典型问题

一些一般性问题可以转化为语言问题，利用语言的计算模型来求解。例如下面的

语言成员性问题：判断某个数字是否为素数。我们关心的是这个一般性问题是否能转化为语言问题，通过语言的计算模型来解决，显然它是可以被回答的，我们仅需要判断这个数的因数的情况。我们可以将这种问题称为可判定问题，对于肯定的判断，例如xx是素数，我们能给出它的回答，但也存在一些问题是无法判断的，图灵停机问题。

形式化的证明

演绎法
归纳法：举例
反证法

有穷自动机（有限状态机）

确定的有穷自动机（Deterministic Finite Automaton，DFA）

DFA可以看作是一个由一条输入带，一个读头，一个有穷控制器（记录状态，FInite Control）组成的，分别从初始状态指向接受状态，于是可以抽象为由五个参数定义一个DFA。

于是DFA可以被定义为一个五元组：

A = （Q,\sum,\delta,q_0,F）

Q:有穷状态集；

\sum:有穷输入符号集或字母表；

\delta:Q \times\sum \rightarrow Q,状态转移函数；扩展的状态转移函数(接受一个字符串作为输入)：Q \times {\sum}^* \rightarrow Q

扩展到字符串的\hat{\delta}:Q \times {\sum}^* \rightarrow Q

F \subseteq Q：接受状态集合；

q_0 \in Q:初始状态.

WHAT IS ”DETERMINSTIC“？

状态转移由输入和现有状态唯一确定：

\delta(q,a) = p,q,p\in Q.

e.q.请设计DFA，在任何由0和1构成的串中，接受含有01子串的全部串。

我们可以直接列出接收状态：

发现01

q3:当前的所有状态：

q1：刚刚读入1，但未发现01

q2:刚刚读入0，但未发现01

q3:发现01

于是可以定义为一个DFA A：

A = (\{q_1,q_2.q_3\},\{0,1\},\delta,q_1,\{q_3\})

状态转移函数：

\delta(q_1,0) = q2,\delta(q_1,1) = q1,\delta(q_2,0) =q_2,\delta(q_2,1) = q_3,\delta(q_3,\{0,1\} = q_3)

据此我们可以用状态转移图来描述这个状态转移函数：

屏幕截图 2024-01-21 091803.png

我们也可以用状态转移表来描述：

	0	1
q1	q2	q1
q2	q2	q3
q3	q3	q3

DFA的语言与正则语言

前面我们提到语言可以被自动机形式定义，对于被DFA形式化定义的语言，我们称之为正则语言。

D = (Q,\sum,\delta,q_0,F)是一个DFA，则定义关于D接受的语言为：L(D) = \{w \in {\sum}^* {|} \hat{\delta(q_0,\omega)\in F}\}.

如果语言L是一个DFA D的语言，即L = L（D），则称L是正则语言。

e.q.设计DFA接受{0，1}上的字符串w,且w是3的倍数的二进制

我们可以直接得到状态转移表：

qn表示当前状态下的字符串w除3的余数为n

	0	1
q0	q0	q1
q1	q2	q0
q2	q1	q2
qs(开始状态为空串)	qi	q1
qi	qi	qi

屏幕截图 2024-01-21 101626.png

非确定有穷自动机（Nonedeterminstic Finite Automanton）

同一状态的相同输入可以有不同跳转；
自动机可以同时处于多个状态.

由0和1构成的串中，接受全部以01结尾的串。

用DFA可以画出：

但是我们也可以使得自动机处于多种状态，比如读入q0状态读入{0，1}后续可能是01直接接受，也可能是不能接受但是能跳转，于是我们可以让自动机“分头行动”：

于是我们能得到NFA的定义：

定义一个五元组：

A = (Q,\sum.\delta,q_0,F)

区别在于对delta的定义：

\delta:Q \times\sum \rightarrow 2^Q,状态转移函数；扩展的状态转移函数(接受一个字符串作为输入)：Q \times {\sum}^* \rightarrow 2^Q

2^Q是一个幂集，定义为：2^Q=\{S|S\subseteq Q\}

DFA与NFA的等价性

如果语言L被NFA接受，当且仅当L被DFA接受

使用子集构造法证明，因为NFA的跳转状态是所有DFA跳转状态的一个子集，那么利用子集构造法证明是自然的：

屏幕截图 2024-01-23 194359.png

形式语言与自动机学习day1（一）