P1719 最大加权矩形 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 $n\times n$ 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大。矩阵的每个元素属于 $[-127,127]$ ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 $15$ 。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行： $n$ ，接下来是 $n$ 行 $n$ 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

$1 \leq n\le 120$

题解

思路

本题实际上考察的是二维前缀和的知识，利用二维矩阵的前缀和和容斥原理，可以快速计算出一个任意矩形中包含的所有数字的和。利用这一特性，对题目中给出的数组中的所有可能的矩形进行遍历。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 125;
int a[N][N], s[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
            //二维前缀和
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    int ans = INT_MIN;
    //前两重循环遍历矩形左上角坐标
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            //内部两重循环遍历矩形右下角坐标
            for(int k = i; k <= n; k++) {
                for(int l = j; l <= n; l++) {
                    //利用前缀和快速计算矩形内所有元素的和
                    int sum = s[k][l] - s[i - l][l] - s[k][j - 1] + s[i - 1][j - 1];
                    ans = max(ans, sum);
                }
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

洛谷 P1719 最大加权矩形 题解（C++版）