面对这样的股市，我们应该做些什么。。。

前言

今天的股市大起大落相当刺激，看得我心惊肉跳，无心工作，一边看还一边在想，

幸亏我不炒股，不然我得哭成什么样。。。

不过，如今的市场跌宕起伏，就像是波涛汹涌的大海，每一个股民都是大海上的小船，大海虽然凶险，但风险与挑战并存，毕竟著名的企业家、政治家、慈善家高总曾经说过：

风浪越大鱼越贵！

作为我们IT人，更要用好自己手上的技术，比如...

打开leetcode刷一道《买卖股票的最佳时机》。

说正经的，股票问题是leetcode上的一个系列题目。这个系列包含了贪心、动态规划、动态规划的空间压缩技巧等非常多的知识点，也是笔试和面试中很爱考的题目。这篇文章中整理了几道股票系列中的经典问题，由于篇幅问题，剩余的几道股票问题会在后面的文章中继续分享。

需要提到的是，在股票问题3中，我给出的状态转移方程和网上大多数的帖子并不完全一致，但和官方题解倒是有些不谋而合。虽然两个转移方程都能通过leetcode的测试用例，但我依然认为我的转移方程会更加严谨一些。

问题一：leetcode 121.买卖股票的最佳时机

问题描述

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

算法流程

题目要求的是股票交易的最大利润，那么可以针对数组中的每一个元素arr[i]，向前遍历数组，找到arr[0...i-1]的最小值。arr[i] - min(arr[0...i-1])就是第i天卖掉股票时能收获的最大利润profit[i]。profit[0...n-1]中的最大值就是题目要求的答案。

如何快速求出arr[0...i-1]位置的最小值呢？我们可以使用一个变量minPrice，在遍历数组的同时滚动更新变量minPrice来代表数组0到i-1位置的最小值，这样在遍历到arr[i]时，就不需要向左遍历整个数组了，只需要读取变量minPrice的值即可，算法的时间复杂度也就从压缩到。

代码实现

C++

int maxProfit(vector<int>& prices) {
    int minPrice = prices[0];
    int n = prices.size();
    int maxProfit = 0;
    for (int i=1; i<n; i++) {
        maxProfit = max(maxProfit, prices[i] - minPrice);
        minPrice = min(minPrice, prices[i]);
    }

    return maxProfit;
}

Java

public int maxProfit(int[] prices) {
    if (prices == null || prices.length < 2) {
        return 0;
    }

    int minPrice = prices[0];
    int ans = 0;
    for (int i=1; i<prices.length; i++) {
        ans = Math.max(ans, prices[i] - minPrice);
        minPrice = Math.min(prices[i], minPrice);
    }

    return ans;
}

Go

func maxProfit(prices []int) int {
    minPrice := prices[0]
    maxProfit := 0

    n := len(prices)

    for i:=1; i<n; i++ {
        maxProfit = max(maxProfit, prices[i] - minPrice)
        minPrice = min(minPrice, prices[i])
    }

    return maxProfit
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

问题二：leetcode 122.买卖股票的最佳时机2

问题描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
     总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

算法流程

经典贪心。遍历数组，如果当天的股价比前一天的股价高，那么就可以在前一天买入，当天卖出，赚取收益。即如果price[i] > price[i-1]，那么这天就可以获得收益price[i] - price[i-1]。

代码实现

C++

int maxProfit(vector<int>& prices) {
 int res = 0;
    for (int i=1; i<prices.size(); i++) {
        res += max(0, prices[i] - prices[i-1]);
    }
    return res;
}

Java

public int maxProfit(int[] prices) {
    int res = 0;
    for (int i=1; i<prices.length; i++) {
        res += Math.max(0, prices[i] - prices[i-1]);
    }
    return res;
}

Go

func maxProfit(prices []int) int {
    res := 0
    for i:=1; i<len(prices); i++ {
        res += max(0, prices[i] - prices[i-1])
    }
    return res
}

问题三：leetcode 123. 买卖股票的最佳时机 III

问题描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

算法流程

动态规划。

由于最多可以做两笔交易，所以最多有五种状态，我们分别用0至4五种数字代表。

• 0：一笔交易都未进行
• 1：买入了第一笔股票
• 2：卖出了第一笔股票
• 3：买入了第二笔股票
• 4：卖出了第二笔股票

如果我们准备一个n行5列的二维数组dp，dp[i][j]代表的含义是第i天到达j状态时的最大收益。

• dp[0][0]代表第0天未交易状态的最大收益，显然应该是0；
• dp[0][1]代表第0天买入第一笔股票的最大收益，显然应该是-price[0]；
• dp[0][2]代表第0天买入第一笔股票再卖出后的最大收益，显然应该是0；
• dp[0][3]代表第0天买入第一笔股票，再卖出，然后再买入第二笔股票时的收益，应该是-price[0]；
• dp[0][4]代表第0天买入第一笔股票，再卖出，再买入第二笔股票，再卖出时的收益，应该是0；

那么这道题的状态转移方程是什么样的呢？

• dp[i][0]说明一直没有买卖股票，收益肯定为0

• dp[i][1]说明第i天结束时的状态是买入了第一支股票，有以下这么几种情况

  • 这支股票是第i-1天或i-1天之前买的，此时dp[i][1] = dp[i-1][1]
  • 这支股票是第i天买的，此时dp[i][1] = dp[i-1][0] - price[i]，也等于dp[i][0] - price[i]（因为dp[i][0]和dp[i-1][0]都是0）
  • dp[i][1]的值应该是这两个取值中的max

• dp[i][2]说明第i天结束时的状态是第一支股票卖出，那么有以下几种情况

  • 这支股票是第i-1天或i-1天之前卖出的，此时dp[i][2] = dp[i-1][2]

  • 这支股票是第i天卖出的

    • 这支股票可能是i-1天或i-1天之前买入的，此时dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
    • 题目中并没有禁止在同一天买入卖出，所以这支股票也可能是当天买入的，此时dp[i][2] = dp[i][1] + prices[i]
    • 由于dp[i][1] >= dp[i-1][1]，所以在取max的过程中，后者一定可以覆盖前者

  • 综上所述，dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i][1])

• 同理可得，dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i][2])，dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i][3])。

这样就可以得到下面的状态转移方程（）

从转移方程中可以知道，dp[i][j]的推导依赖上方和左侧的格子，所以需要从上到下从左向右推导。推导结束后，dp[n-1][4]就是题目要求的返回值。

代码实现

public int maxProfit(int[] prices) {
 int n = prices.length;
    int[][] dp = new int[n][5];
    
    dp[0][0] = 0;
    dp[0][1] = -prices[0];
    dp[0][2] = 0;
    dp[0][3] = -prices[0];
    dp[0][4] = 0;
    for (int i=1; i<n; i++) {
        dp[i][0] = 0;
        dp[i][1] = Math.max(dp[i][0] - prices[i], dp[i-1][1]);
        dp[i][2] = Math.max(dp[i][1] + prices[i], dp[i-1][2]);
        dp[i][3] = Math.max(dp[i][2] - prices[i], dp[i-1][3]);
        dp[i][4] = Math.max(dp[i][3] + prices[i], dp[i-1][4]);
    }
    
    return dp[n-1][4];
}

空间压缩

由于动态规划的推导顺序是从上到下，从左向右的，所以可以使用空间压缩的技巧将二维数组压缩成一维数组，在推导的过程中一维数组滚动更新，达到空间压缩的效果。

代码实现

Java

public int maxProfit(int[] prices) {
 int n = prices.length;
    int[] dp = new int[5];
    
    dp[0] = 0;
    dp[1] = -prices[0];
    dp[2] = 0;
    dp[3] = -prices[0];
    dp[4] = 0;
    for (int i=1; i<n; i++) {
        dp[0] = 0;
        dp[1] = Math.max(dp[0] - prices[i], dp[1]);
        dp[2] = Math.max(dp[1] + prices[i], dp[2]);
        dp[3] = Math.max(dp[2] - prices[i], dp[3]);
        dp[4] = Math.max(dp[3] + prices[i], dp[4]);
    }
    
    return dp[4];
}

C++

int maxProfit(vector<int>& prices) {
 int n = prices.size();
    int dp[5];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = -prices[0];
    dp[2] = 0;
    dp[3] = -prices[0];
    dp[4] = 0;
    
    for (int i=1; i<n; i++) {
        dp[0] = 0;
        dp[1] = max(dp[0] - prices[i], dp[1]);
        dp[2] = max(dp[1] + prices[i], dp[2]);
        dp[3] = max(dp[2] - prices[i], dp[3]);
        dp[4] = max(dp[3] + prices[i], dp[4]);
    }
    
    return dp[4];
}

• Go

func maxProfit(prices []int) int {
    n := len(prices)
    dp := make([]int, 5)
    
    dp[0] = 0
    dp[1] = -prices[0]
    dp[2] = 0
    dp[3] = -prices[0]
    dp[4] = 0
    
    for i:=1; i<n; i++ {
        dp[0] = 0
        dp[1] = max(dp[0] - prices[i], dp[1])
        dp[2] = max(dp[1] + prices[i], dp[2])
        dp[3] = max(dp[2] - prices[i], dp[3])
        dp[4] = max(dp[3] + prices[i], dp[4])
    }
    
    return dp[4]
}

复杂度分析

（以空间压缩版本为例）

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

读者： 为什么空间复杂度是$O(1)$呢？这不是借用了一个长度为5的一维数组吗？是不是这个傻子写错了？

作者回：我们借助的是一个固定长度的一维数组，无论题目给出的数组长度n有多大，我们借助的一维数组长度始终都是5，换句话说，我也可以使用5个变量来代替这个数组。

如果借助的数组长度会随着n的变大而变大，那么空间复杂度就不再是$O(1)$。

结语

由于篇幅问题，这篇文章中不能把股票问题一口气全都讲完，我们会在后面的文章中继续分享。

如果觉得这篇文章对你有帮助，欢迎帮我点一个免费的赞和关注，谢谢大家！

最后：股市有风险，投资需谨慎

欢迎关注公众号：程序员冻豆腐，里面有我所有的首发文章。