GM(1,1)模型

例如，某城市1986到1992年道路噪声平均声级数据见下表，请预测上一年的数据

特点：数据少，看不出明显规律 此时我们就可以通过累加来制造规律

• 生成的新序列x(1)，看起来像一个指数曲线（直线）
  • 可用一个指数曲线乃至一条直线的表达式来逼近这个新序列
  • 构建一阶常微分方程来求解拟合曲线的函数表达式（函数图像相似）
• 设x(1)满足：dx(1)/dt + ax(1) = u（一阶常微分方程）, 若a和u已知则可直接求解出结果（高数知识）
  • 要预测下一年数值，就解出微分方程；要解出微分方程，就要知道a和u
• 想求a和u，就要用最小二乘法，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配
• 但已知的数据是离散的而不是连续的，所以dx(1)/dt写成Δx(1)/Δt
  • 注意！ Δt = (t+1) - t = 1, 始终为1；而Δx(1) = x(1)(t) - x(1)(t - 1) = x(0)(t)
  • 得到方程x(0)(t) + ax(1)(t) = u
  • 即x(0)(t) = -ax(1)(t) + u
  • 式子左边是已知数据，右边就是含有未知数的函数，此时就可以用最小二乘法

*其中带有角标的x值是拟合值

*取k=7和6时，因为x角标(1)得到的结果为累加值，所以他们括号内的数值为8和7

优点： 数据少且无明显规律时可用，利用微分方程挖掘数据本质规律

缺点： 灰色预测只适合短期预测、指数增长的预测