算法基础

算法概念

时间复杂度

时间复杂度：用来评估算法运行效率的一个式子

时间复杂度强调的是一个大概的时间（取最高阶）

时间复杂度 - 小结

时间复杂度是用来估计算法运行时间的一个式子（单位）。
一般来说，时间复杂度高的算法比复杂度低的算法慢。
常见的时间复杂度（按效率排序）
- $O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^2logn)<O(n^3)$
复杂问题的时间复杂度
- $O(n!) O(2^n) O(n^n)...$

如何简单快速地判断算法复杂度

快速判断算法复杂度（适用于绝大多数简单情况）：
- 确定问题规模
- 循环减半过程 ---> $logn$
- k层关于n的循环 ---> $n^k$
复杂情况：根据算法执行过程判断

空间复杂度

空间复杂度：用来评估算法内存占用大小的式子
空间复杂度的表示方式与时间复杂度完全一样
- 算法使用了几个变量： $O(1)$
- 算法使用了长度为n的一维列表： $O(n)$
- 多算法使用了m行n列的二维列表： $O(mn)$
“空间换时间”【时间的优先级比较高】

复习：递归

在上面的代码中，func1、func2、func3 和 func4 都是递归函数，因为它们都调用了自身。然而，正确的递归函数需要有一个终止条件来防止无限递归。我们来分析一下每个函数：

func1：没有终止条件。这个函数会无限地递减 x 并打印它，直到程序崩溃或者遇到栈溢出错误。
func2：同样没有终止条件。这个函数在 x 大于0时会无限地递增 x 并打印它，直到程序崩溃或者遇到栈溢出错误。
func3：有终止条件。当 x 不再大于0时，递归将停止。这个函数会打印从 x 开始递减到1的所有正整数。
func4：也有终止条件。与 func3 类似，当 x 不再大于0时，递归将停止。不同的是，这个函数会在返回之前打印 x，所以它实际上会以升序打印从1到 x 的所有正整数。

因此，正确的递归函数是 func3 和 func4，因为它们有适当的终止条件。

 #include <iostream>
 
 void func3(int x) {
     if (x > 0) {
         std::cout << x << std::endl;
         func3(x - 1);
     }
 }
 
 void func4(int x) {
     if (x > 0) {
         func4(x - 1);
         std::cout << x << std::endl;
     }
 }
 
 int main() {
     std::cout << "func3:" << std::endl;
     func3(5);  // 示例调用func3，将打印5到1的数字
 
     std::cout << "func4:" << std::endl;
     func4(5);  // 示例调用func4，将打印1到5的数字
 
     return 0;
 }

汉诺塔问题

tower-of-Hanoi

 #include<iostream>
 using namespace std;
 
 //汉诺塔问题
 //起始杆A 中转杆B 目标杆C
 void hanoi(int n, char a, char b, char c)
 {
     if (n > 0)
     {
         hanoi(n - 1, a, c, b);
         
         printf("moving from %c to %c\n", a, c);
 
         hanoi(n - 1, b, a, c);
     }
 }
 
 int main()
 {
     int n = 3;
     char a = 'A';
     char b = 'B';
     char c = 'C';
 
     hanoi(n, a, b, c);
 
     system("pause");
 
     return 0;
 
 }

 moving from A to C
 moving from A to B
 moving from C to B
 moving from A to C
 moving from B to A
 moving from B to C
 moving from A to C
 请按任意键继续. . .