在数组中找第K大的元素

这个题是一道非常重要的题，主要解决方法有三个，选择法，堆查找法和快速排序法。

选择法很简单，就是先遍历一遍找到最大的元素，然后再遍历一遍找第二大的，然后再遍历一遍找第三大的，直到第K次就找到了目标值了。但是这种方法只适合在面试的时候预热，面试官不会让你这么简单就开始写代码，因为该方法的时间复杂度为O(NK)。

比较好的方法是堆排序法和快速排序法。快速排序我们已经分析过，这里先看堆排序如何解决问题。

这个题其实用大堆小堆都可以解决的，但是我们推荐“找最大用小堆，找最小用大堆，找中间用两个堆”，这样更容易理解，适用范围也更广。我们构造一个大小只有4的小根堆，为了更好说明情况，我们扩展一下序列[3,2,3,1, 2 ,4 ,5, 1,5,6,2,3]。

堆满了之后，对于小根堆，并一定所有新来的元素都可以入堆的，只有大于根元素的才可以插入到堆中，否则就直接抛弃。这是一个很重要的前提。

另外元素进入的时候，先替换根元素，如果发现左右两个子树都小该怎么办呢？很显然应该与更小的那个比较，这样才能保证根元素一定是当前堆最小的。假如两个子孩子的值一样呢？那就随便选一个。

新元素插入的时候只是替换根元素，然后重新构造成小堆，完成之后，你会神奇的发现此时根的根元素正好是第4大的元素。

这时候你会发现，不管要处理的序列有多大，或者是不是固定的，根元素每次都恰好是当前序列下的第K大元素。上面的图收篇幅所限，我们省略了部分调整环节，请读者自行画一下看看。

上的代码自己实现是非常困难的，我们可以使用jdk的优先队列来解决，其思路是很简单的。由于找第 K 大元素，其实就是整个数组排序以后后半部分最小的那个元素。因此，我们可以维护一个有 K 个元素的最小堆：

如果当前堆不满，直接添加；
堆满的时候，如果新读到的数小于等于堆顶，肯定不是我们要找的元素，只有新遍历到的数大于堆顶的时候，才将堆顶拿出，然后放入新读到的数，进而让堆自己去调整内部结构。

说明：这里最合适的操作其实是 replace()，即直接把新读进来的元素放在堆顶，然后执行下沉（siftDown()）操作。Java 当中的 PriorityQueue 没有提供这个操作，只好先 poll() 再 offer()。优先队列的写法就很多了，这里只例举一个有代表性的，其它的写法大同小异，没有本质差别。

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
    if (k > nums.length) {
        return -1;
    }
    int len = nums.length;
    // 使用一个含有 k 个元素的最小堆
    PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(k,(a,b) -> a - b);
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        minHeap.add(nums[i]);
    }
    for (int i = k; i < len; i++) {
        // 看一眼，不拿出，因为有可能没有必要替换
        Integer topEle = minHeap.peek();
        // 只要当前遍历的元素比堆顶元素大，堆顶弹出，遍历的元素进去
        if (nums[i] > topEle) {
            minHeap.poll();
            minHeap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return minHeap.peek();
}

堆排序原理

查找：找小用大，找大用小

排序：升序用小，降序用大。

前面介绍了如何用堆来进行特殊情况的查找，堆的另一个很重要的作用是可以进行排序，那怎么排的呢？其实非常简单，我们知道在大顶堆中，根节点是整个结构最大的元素，我先将其拿走，剩下的重排，此时根节点就是第二大的元素，我再将其拿走，再排，依次类推。最后堆只剩一个元素的时候，是不是拿走的数据也就排好序了？

具体来说，建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。

这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。

当然在上面的过程中，放到最后一个位置的元素就不参与排序和计算了。

看一个例子，我们对上面第一章的序列 [12 23 54 2 65 45 92 47 204 31]进行排序，首先构建一个大顶堆，然后每次我们都让根元素出堆，剩下的继续调整为大顶堆：

这时候你会发现出堆的序列刚好是：204、92、65、54、47、45...。也就是刚好是从大到小的顺序排列的。所以我们可以明白，如果是一个小顶堆，那自然是升序的。所以在排序的时候：

排序：升序用小，降序用大。

这个与前面的查找是相反的。

明白了这几个堆的特征，再做相关题目就毫无压力了。

合并K个有序链表

. - 力扣（LeetCode）

这个问题五六种方法，我们现在就来看堆排序如何解决。因为每个队列都是从小到大排序的，我们每次都要找最小的元素，所以我们要用小根堆，构建方法和操作与大顶堆完全一样，不同的是每次比较谁更小。使用堆合并的策略是不管几个链表，最终都是按照顺序来的。每次都将剩余节点的最小值加到输出链表尾部，然后进行堆调整，最后堆空的时候，合并也就完成了。

还有一个问题，这个堆应该定义为多大呢？给了几个链表，堆就定义多大。

public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {
  if (lists == null || lists.length == 0) return null;
 
  PriorityQueue<ListNode> q = new PriorityQueue<>(Comparator.comparing(node -> node.val));
  for (int i = 0; i < lists.length; i++) {
    if (lists[i] != null) {
      q.add(lists[i]);
    }
  }
 
  ListNode dummy = new ListNode(0);
  ListNode tail = dummy;
 
  while (!q.isEmpty()) {
    tail.next = q.poll();
    tail = tail.next;
    if (tail.next != null) {
      q.add(tail.next);
    }
  }
  return dummy.next;
}

编程导航算法通关村第十四关 | 堆能高效解决的经典问题

在数组中找第K大的元素

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