数组实现加法专题

数组实现整数加法

这里的关键是A[0]什么时候出现进位的情况，我们知道此时一定是9，99，999...这样的结构才会出现加1之后再次进位，而进位之后的结果一定是10，100，1000这样的结构，由于java中数组默认初始化为0，所以我们此时只要申请一个空间比A[]大一个的数组B[]，然后将B[0]设置为1就行了。这样代码就会变得非常简洁。

public int[] plusOne(int[] digits) {
    int len = digits.length;
    for (int i=len-1; i >= 0; i--) {
        digits[i]++;
        digits[i] %= 10;
        if (digits[i] != 0) {
            return digits;
        }
    }
    // 比较巧妙的设计
    digits = new int[len + 1];
    digits[0] = 1;
    return digits;
}

字符串加法

我们继续看将数字保存在字符串中的情况：字符串加法就是使用字符串来表示数字，然后计算他们的和。具体要求如下：给定两个字符串形式的非负整数 num1 和num2 ，计算它们的和并同样以字符串形式返回。你不能使用任何內建的用于处理大整数的库（比如 BigInteger），也不能直接将输入的字符串转换为整数形式。

例如：
输入：num1 = "456", num2 = "77"
输出："533"

我们先想一下小学里如何计算两个比较大的数相加的，经典的竖式加法是这样的：

低到高逐位相加，如果当前位和超过 10，则向高位进一位。

因此我们只要将这个过程用代码写出来即可。先定义两个指针 i 和j 分别指向num1和num2的末尾，即最低位，同时定义一个变量 add 维护当前是否有进位，然后从末尾到开头逐位相加。

这里可能有个问题：两个数字位数不同该怎么处理？简单，补0即可。具体可以看下面的代码：

public String addStrings(String num1, String num2) {
    int i = num1.length() - 1, j = num2.length() - 1, add = 0;
    StringBuffer ans = new StringBuffer();
    while (i >= 0 || j >= 0 || add != 0) {
        int x = i >= 0 ? num1.charAt(i) - '0' : 0;
        int y = j >= 0 ? num2.charAt(j) - '0' : 0;
        int result = x + y + add;
        ans.append(result % 10);
        add = result / 10;
        i--;
        j--;
    }
    // 计算完以后的答案需要翻转过来
    ans.reverse();
    return ans.toString();
}

二进制加法

. - 力扣（LeetCode）

这个题也是用字符串来表示数据的，也要先转换为字符数组。我们熟悉的十进制，是从各位开始，逐步向高位加，达到10就进位，而对于二进制则判断相加之后是否为二进制的10，是则进位。本题解中大致思路与上述一致，但由于字符串操作原因，不确定最后的结果是否会多出一位进位，下面 2 种处理方式都可以：

第一种，在进行计算时直接拼接字符串，得到一个反向字符，最后再翻转。
第二种，按照位置给结果字符赋值，最后如果有进位，则在前方进行字符串拼接添加进位

我们这里采用第二种实现。

public String addBinary(String a, String b) {
    StringBuilder ans = new StringBuilder();
    int ca = 0;
    for(int i = a.length() - 1, j = b.length() - 1;i >= 0 || j >= 0; i--, j--) {
        int sum = ca;
        sum += i >= 0 ? a.charAt(i) - '0' : 0;
        sum += j >= 0 ? b.charAt(j) - '0' : 0;
        ans.append(sum % 2);
        ca = sum / 2;
    }
    ans.append(ca == 1 ? ca : "");
    return ans.reverse().toString();
}

幂运算

求2的幂

. - 力扣（LeetCode）

本题的解决思路还是比较简单的，我们可以用除的方法来逐步缩小n的值，另外一个就是使用位运算。

逐步缩小的方法就是如果 n 是 2 的幂，则 n>0，且存在非负整数 k 使得 n=2^k。

首先判断 n 是否是正整数，如果 n 是0 或负整数，则 n 一定不是 2 的幂。

当 n 是正整数时，为了判断 n 是否是 2 的幂，可以连续对 n 进行除以 2 的操作，直到 n 不能被 2 整除。此时如果 n=1，则 n 是 2 的幂，否则 n 不是 2 的幂。代码就是：

boolean isPowerOfTwo(int n) {
    if (n <= 0) {
        return false;
    }
    while (n % 2 == 0) {
        n /= 2;
    }
    return n == 1;
}

如果采用位运算，该方法与我们前面说的统计数字转换成二进制数之后1的个数思路一致。当 n>0 时，考虑 n 的二进制表示。如果存在非负整数 k 使得 n=2^k，则 n 的二进制表示为 1 后面跟 k 个0。由此可见，正整数 n 是2 的幂，当且仅当 n 的二进制表示中只有最高位是 1，其余位都是 0，此时满足 n & (n−1)=0。因此代码就是：

public boolean isPowerOfTwo(int n) {
        return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
}

求3的幂

. - 力扣（LeetCode）

对于这个题，可以直接使用数学方法来处理，如果n是3 的幂，则 n>0，且存在非负整数 k 使得 n=3^k。

首先判断 n是否是正整数，如果 n是 0或负整数，则 n一定不是 3的幂。

当 n 是正整数时，为了判断 n 是否是 3 的幂，可以连续对 n 进行除以 3 的操作，直到 n 不能被 3 整除。此时如果n=1，则 n 是 3 的幂，否则 n 不是 3 的幂。

public boolean isPowerOfThree(int n) {
    if (n <= 0) {
        return false;
    }
    while (n % 3 == 0) {
        n /= 3;
    }
    return n == 1;
}

这个题的问题和上面2的次幂一样，就是需要大量进行除法运算，我们能否优化一下呢？这里有个技巧。

由于给定的输入 n 是int 型，其最大值为 2^31-1。因此在int 型的数据范围内存在最大的 3 的幂，不超过 2^31-1 的最大的 3 的幂是 3^19=1162261467。所以如果在1~ 2^31-1内的数，如果是3的幂，则一定是1162261467的除数，所以这里可以通过一次除法就获得：

public boolean isPowerOfThree(int n) {
    return n > 0 && 1162261467 % n == 0;
}

求4的幂

. - 力扣（LeetCode）

第一种方法自然还是数学方法一直除，代码如下：

boolean isPowerOfFour(int n) {
  if (n <= 0)
        return false;
  while (n % 4 == 0)
       n /= 4;
   return n == 1;
}

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