当x趋于无穷时的0/0型不定式洛必达法则的证明

前言

!如果只关心证明过程请跳到第二、三部分

 相信很多朋友在网上看到过如下图这种直接替换x为1/t的证明,但是又无法理解为什么1/t依旧趋于无穷却直接套用了x趋于有限值时的洛必达,才搜到这里.

 那么你可以得到严谨的证明了.

一.分析网上的证明

 首先表明,个人是不认可这个做法的,如果以严谨的证明看待有点类似于用结论证明结论了.  但是既然它可以达到结论,那就说明至少这个等式在添加某些不影响x趋近于+∞时极限的限制条件时是成立的.

 所以在此基础上我们寻找这个限制条件即可,先附上网上直接过的图:

 在这里发现在类比的过程中是 默认了f(t)=f(1/t),

二.网上证明缺少的条件

 那我们便可以假设在(0,1)有f(t)=f(1/t)即可,显然不会影响无穷大处的值和导数值. 到这里其实已经可以理解这个等式足以成立的关键了.但是若a小于1时显然与可导可能发生冲突,需要进行补充说明计算趋于无穷时的极限值,可以以某个正整数为界在之前的函数值随意改变均不会影响无穷处极限的结果.

三.更严谨的证明过程

 如果觉得直接这样直接说不严谨,那么可以构建一个辅助函数h(x),令m=max{1,a}

 在丨x丨≤1/m时有h(x)=f(1/x),在丨x丨>m时h(x)=f(x).

 那么对于定义域内,h(x)=h(1/x)

则$\lim\limits_{x\rightarrow0^+}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}h(\dfrac{1}{x})=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f (x)=0$

 且对h(x)=h(1/x)两侧求导得

$h'(x)=h'(\dfrac{1}{x})(-\dfrac{1}{x^2})$

 则显然h(x)在x≠1时,所属定义域内均可导, 类似的构建p(x)关于g(x),p(x)也有类似性质. 则

 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{h(x)}{p(x)}=\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\dfrac{h(\dfrac{1}{t})}{p(\dfrac{1}{t})}=\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\dfrac{h(t)}{p(t)}$  (i)

 现在即可类比x趋于有限值时的情况,即

 结合(i)式即可证得结论成立.

四.总结

 1.在求目标区间处时的极限时对应的可以不关心其它区间内的值.

 2.只要其他区间与目标区间有办法限制不重合,均可以假定为等于目标区间函数值.

例如 对于求f(x)=1/x,x≠0在x趋于+∞时的极限,就算我们让x<0时均为无穷大,也不妨碍在x趋于正无穷时f(x)趋于0.

 3.只要题目中不明确说明其他区间函数值,那么我们均可以直接假定为我们想要它成为的样子,并说明不会影响求极限.

 4.如果题目中明确说明了其他区间函数值的情况,那么我们可以直接构造辅助函数,让目标区间直接等于原函数,其他区间达到我们理想中的函数值