有序数组转换为二叉搜索树

. - 力扣（LeetCode）

理论上如果要构造二叉搜索树，可以以升序序列中的任一个元素作为根节点，以该元素左边的升序序列构建左子树，以该元素右边的升序序列构建右子树，这样得到的树就是一棵二叉搜索树。本题要求高度平衡，因此我们需要选择升序序列的中间元素作为根节点，这本质上就是二分查找的过程：

public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
    return helper(nums, 0, nums.length-1);
}
public TreeNode helper(int[] nums, int left, int right) {
    if (left > right) {
        return null;
    }
    // 总是选择中间位置左边的数字作为根节点
    int mid = (left + right) / 2;

    TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
    root.left = helper(nums, left, mid-1);
    root.right = helper(nums, mid+1, right);
    return root;
}

寻找两个正序数组的中位数

. - 力扣（LeetCode）

对于本题，最直观的思路有以下两种：

使用归并的方式，合并两个有序数组，得到一个大的有序数组。大的有序数组的中间位置的元素，即为中位数。这种方式的时间复杂度是O_(m+_n)，空间复杂度是 O(m+n)。
另一种方式，不需要合并两个有序数组，只要找到中位数的位置即可。由于两个数组的长度已知，因此中位数对应的两个数组的下标之和也是已知的。维护两个指针，初始时分别指向两个数组的下标 00 的位置，每次将指向较小值的指针后移一位（如果一个指针已经到达数组末尾，则只需要移动另一个数组的指针），直到到达中位数的位置。这种方式可以将空间复杂度降到 O(1)，但是时间复杂度仍是 O(m+n)。

如何把时间复杂度降低到O(log(m+n)) 呢？如果对时间复杂度的要求有log，通常都考虑二分、快排或者堆三个方面。而对于有序序列，通常要考虑一下能否使用二分来解决。

如果要使用二分，核心问题是基于什么规则将数据砍掉一半。而本题是两个序列，所以我们的核心问题是如何从两个序列中分别砍半，图示如下k=(m+n)/2：

根据中位数的定义，当m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第(m+n)/2 个元素，当m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第(m+n)/2 个元素和第(m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。

假设两个有序数组分别是LA 和LB。要找到第 k 个元素，我们可以比较LA[k/2−1] 和LB[k/2−1]。由于LA[k/2−1] 和LB[k/2−1] 的前面分别有LA[0..k/2−2] 和 LB[0..k/2−2]，即k/2−1 个元素，对于LA[k/2−1] 和LB[k/2−1] 中的较小值，最多只会有(k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 k 小的数了。

因此我们可以归纳出以下几种情况：

如果LA[k/2−1]<LB[k/2−1]，则比LA[k/2−1] 小的数最多只有LA 的前k/2−1 个数和LB 的前k/2−1 个数，即比LA[k/2−1] 小的数最多只有k−2 个，因此LA[k/2−1] 不可能是第 k 个数，LA[0] 到LA[k/2−1] 也都不可能是第 k 个数，可以全部排除。
如果LA[k/2−1]>LB[k/2−1]，则可以排除LB[0] 到LB[k/2−1]。也就是一次砍掉一半。
如果LA[k/2−1]=LB[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。

可以看到，比较LA[k/2−1] 和LB[k/2−1] 之后，可以排除k/2 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，我们将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据我们排除数的个数，减少 k 的值，这是因为我们排除的数都不大于第 k 小的数。

以下边界情况需要特殊处理以下：

如果LA[k/2−1] 或者LB[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去k/2。
如果k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

实现代码：

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
    int totalLength = length1 + length2;
    if (totalLength % 2 == 1) {
        int midIndex = totalLength / 2;
        double median = getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1);
        return median;
    } else {
        int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;
        double median = (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0;
        return median;
    }
}

public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
    int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
    int index1 = 0, index2 = 0;

    while (true) {
        // 边界情况
        if (index1 == length1) {
            return nums2[index2 + k - 1];
        }
        if (index2 == length2) {
            return nums1[index1 + k - 1];
        }
        if (k == 1) {
            return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
        }

        // 正常情况
        int half = k / 2;
        int newIndex1 = Math.min(index1 + half, length1) - 1;
        int newIndex2 = Math.min(index2 + half, length2) - 1;
        int pivot1 = nums1[newIndex1], pivot2 = nums2[newIndex2];
        if (pivot1 <= pivot2) {
            k -= (newIndex1 - index1 + 1);
            index1 = newIndex1 + 1;
        } else {
            k -= (newIndex2 - index2 + 1);
            index2 = newIndex2 + 1;
        }
    }
}

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