期望的定义

什么是期望？根据数学课本上的定义，期望值=sum(概率*（数值+变化)）

我们用$E$符号来表示期望，

期望的线性可加性

期望的线性可加性主要是把问题拆分为子问题:

在通常情况下，两个随机变量的期望值不等于这两个随机变量的期望值的积， 也就是$E(xy)!=E(x)×E(y)$

当$E(xy)==E(x)×E(y)$时，它们的协方差为0，协方差用$cov$符号表示，协方差的公式为: $\frac{ E(XY)-E(X)E(Y) }{\sqrt{D(x)}×\sqrt{D(y)}}$

其中$D$是方差的意思。

我们也可以通过期望求方差，公式为： $D(x)=E(x^2)-E(x)^2$

反过来也可以通过方差求出期望的平方： $E(x^2)=D(x)+E(x)^2$

对于一个常数$C$ 来说，常数的期望就是自身：$E(C)=C$，对于一个随机数来说，它的期望值$E(CX)=CE(x)$

求解

其中全概率公式为:$p(B)= \sum_{i=1}^{n} p(Ai) p(B|Ai)$表示为B的概率是A的概率下B的概率下的总和，其中A的概率又从A1，A2,……到An,那么B的概率就是A1下B的概率加上A2下B的概率，直到An下B的概率的总和。

状态表示

例题

sovel:

状态表示

我们根据题目来设状态表示：

f[i]表示买了i张能买到不同卡片种类数的期望值。

我们再来设f[i+1]，即买i+1张卡片可以买到的不同卡片种类数的期望值。

我们看f[i+1]是否可以由f[i]推过来。

f[i]就是已经买了i个产品当中包含的卡片种类，那还剩多少个卡片种类呢，是不是k-f[i] ×$\frac{1}{k}$,为什么×$\frac{1}{k}$,因为是求期望，×$\frac{1}{k}$就是求还剩多少个卡片的种类的期望。 对于每一种卡片买到都需要$\frac{1}{k}$的概率，一共有$k-f[i]$种，全都×$\frac{1}{k}$，就是一个全概率公式。

转移方程

那我们的转移方程就可以写为:$f[i]+((k-f[i])/k)$

初始化

只买到1张卡片，只可能买到1个种类:$f[1]=1$。

code

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
double f[N];   //期望值可能是小数，所以用double
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
	int n=0,k=0;cin>>n>>k;
	f[1]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		f[i]=f[i-1]+(k-f[i-1])/k;   //f[1]已经表示了，所以循环从2开始，当i为2时用f[i-1]可以访问到f[1]
	}
	
	printf("%.6lf\n",f[n]);
	return 0;
}

例题2

状态表示

我们还是根据题目来设状态表示，题目要求我们买完k种需要买多少种卡片，

那我们就设 f[i]表示买了i个种类的卡片买了多少张卡片。

我们再来设f[i+1]，看怎么由f[i]推过来。

假设现在我们买了一张卡片，那么我们是有$P$的概率买到一个新的卡片种类的，那我们买一张卡片一定可以买到新种类卡片的概率就是；$\frac{1}{P}$

关键在于$P$怎么求。

我们买了i种卡片，一共有k种，那就还剩k-1种卡片，那么还剩的能买到的卡片种类的概率就是

$P= \frac{k-i}{k}$

转一下公式，就是求出$\frac{1}{P}$， $\frac{1}{P}=\frac{k}{k-i}$

code