递归的特征

如果看递归代码的结构，就像下面这个样子，前面的每一层都去一模一样地调下一层，不同的只是输入和输出的参数。

当然这个过程不能一直持续下去，一定要在满足某个要求之后返回结果的，否则的话，就会抛出“StackOverFLow”的问题。

所有的递归有两个基本的特征：

①执行时范围不断缩小，这样才能触底反弹。

②终止判断在调用递归的前面，这个终止条件，就是要触的底。

【1】执行范围不断缩小

递归就是数学里的递推，设计递归就是努力寻找数学里的递推公式，例如阶乘的递推公式就是f(n)=n*f(n-1)，很明显一定是要触底之后才能反弹。再比如斐波那契数列的递归公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，n也在不断缩小。这条规律可以辅助我们检查自己写的递推公式对不对。

【2】终止条件判断在递归调用之前

递归之后可能还有终止条件，但是在执行递归之前，一定会有一个终止条件。这一条也可以帮助我们检查自己写的算法对不对。

任何递归方法在执行递归之前，一定会有一个终止条件。

实际一个方法里的递归调用可能不止一次，还会加一些逻辑处理，比如下面这样，但是终止的条件仍然在前面。

如何写递归

第一步：从小到大递推

递归该怎么写呢？递归源自数学里的归纳法，这个在高中数学中学过，大致就是你先猜测出存在递归关系，f(n)=δf(n-1)，然后你只要证明当n增加1时，f(n+1)=δf(n)也是成立就说明你的猜测是对的。不过，在算法里，我们写递归一般不需要证明，先选几个较小的值验一下，再选择几个比较大的验一下即可。

很明显，大部分从n=1，2，3或者只有一两个元素开始写最简单。例如斐波那契序列为 1 1 2 3 5 8，...，从n=3开始都满足f(n)= f(n-1) + f(n-2)，然后我们再选择某个比较大的n来验证即可。

我们仍然以阶乘和斐波那契数列为例来看。斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34….，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…..，从第三项开始就满足：

    f(n) = f(n-1) + f(n-2)

这就是我们要找的递归公式。

第二步：分情况讨论，明确结束条件

递归里终止条件一定是靠前的，而大部分递归的终止条件不过是n最小开始触底反弹时的几种情况。

有时候需要考虑的终止条件不止一个，例如斐波那契数列的递推公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)里，如果n=2时会出现f(2)=f(1)+f(0)，很明显这里是没有f(0)的，所以我们要将n==2也给限制住

有些情况不一定是触底才开始反弹，而是达到某种要求就要停止，这样需要考虑的情况会比较多。解决这类问题最直接的方式就是枚举，将可能的情况列举一下，再逐步优化。

确定终止条件对于递归至关重要，后面很多题目会花很大的篇幅来分析怎么判断终止条件，而一旦判断完毕，递推关系也就水到渠成了。

第三步：组合出完整方法

将递推公式和终止条件组合起来，变成完整的方法。

阶乘：

int f(int n){
    if(n ==1){
        return n;
    }
    return f(n-1) * n;
}

斐波那契数列

int fibonacci(int n){
    // 1.先写递归结束条件
    if(n <= 2){
        return 1;
    }
    // 2.接着写等价关系式
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n - 2);
}

我们先思考一个问题，上面的阶乘，如果n=4会调几次上面的f()方法呢？很明显应该是4次，递归的特征就是“不撞南墙不回头”，n=4，3和2时会继续递归，而n=1时发现满足退出条件了，就执行return 1，不再递归，而是不断返回上一层并计算。

接着再看返回时每层参数的问题，递归本质上仍然是方法调用，所以可以按照方法调用的方式来验证写的对不对。

下面这个图完整的表示了求阶乘的过程，你会发现递归不过是一个方法被调了好几次，每次n都在减小，这就是递进的过程。触底之后，也就是满足终止条件之后就开始返回了。

递进的时候当前层的n被系统给保存了，而返回的时候会自动设置回来，因此每层的n自然是不一样的，所以此时就是重新拿到当前这一层n的值完成计算即可。

例如我们将f(4)阶乘的过程如下：