前缀和（c++）

对于求一段区间内元素之和的问题，一般的想法可以采用暴力解法，遍历一遍所求区间，累加即可，时间复杂度为 O(n) 。前缀和本质上采取空间换时间的策略，用一个前缀和数组 s[i] 保存下从起点到 i 的区间的元素之和，在 O(1) 的时间复杂度下得到区间元素和。

下面来一个典型例题

输入一个长度为的整数序列。 接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l，r。 对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数m和m. 第二行包含个整数，表示整数数列。 接下来m行，每行包含两个整数U和"，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共m行，每行输出一个询问的结果。

在一维情况下，并且在有了前缀和数组的前提下，获取 [L, R] 的元素之和，可以直接 s[r] - s[l - 1] (就是上图橙色部分)。

那么，怎么初始化前缀和数组 s[n] ?

只需要 s[i] = s[i - 1] + a[i] (注意，s[0] 为 0，同时输入数组 a[i] 时， 从下标 1 开始， a[0] 也为 0 , 可以自己带入数据体会一下~)

代码如下

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int s[N], a[N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    while (m --) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

现在让我们从一维情况拓展为二维情况， 再来一个典型例题：

输入个几行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1,班，2，y2,表示个子矩阵的左 上角坐标和右下角坐标。 对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数n,m,q。

接下来m行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1,y1,x2,y2,表示一组询问。

输出格式 共q行，每行输出一个询问的结果。

前缀和数组 s[i][j] 初始化：s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]

获取 a[x1][y2] 到 a[x2][y2] 的子矩阵：s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

(数组s[0][0] 与 a[0][0] 均不保存)

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1000 + 10;

int a[N][N], s[N][N];
int n, m, q;

int main() {
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            cin >> a[i][j];
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    
    while (q --) {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        int res = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}