树的常见概念

树是一个有n个有限节点组成一个具有层次关系的集合，每个节点有0个或者多个子节点，没有父节点的节点称为根节点，也就是说除了根节点以外每个节点都有父节点，并且有且只有一个。树的种类比较多，我们最常见的应该是二叉树了，基本结构如下：

参考上面的结构，可以很方便的理解树的如下概念：

1. 节点的度:一个节点含有的子节点的个数称为该节点的度;
2. 树的度:一棵树中，最大的节点的度称为树的度，注意与节点度的区别；
3. 叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点;
4. 非终端节点或分支节点:度不为0的节点;
5. 双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点;
6. 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
7. 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
8. 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
9. 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
10. 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;
11. 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树;
12. 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树;
13. 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;

树的性质

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）

性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）

性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;

性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)

性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，

其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

满二叉树和完全二叉树是经常晕的问题，我们有必要单独看一下。满二叉树就是如果一棵二叉树只有度为0的节点和度为2的节点，并且度为0的节点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k=4，有2^k-1=15个节点的二叉树。

完全二叉树的定义如下:在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大 值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。

这个定义最邪乎了，估计大部分看了之后还是不懂什么是完全二叉树，看这个图就知道了：

前面两棵树的前n-1层都是满的，最后一层所有节点都集中在左侧区域，而且节点之间不能有空隙。最后一个为什么不是？因为有一节点缺了一个左子节点

树的定义与存储方式

public class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

这里本质上就是有两个引用，分别指向两个位置，为了便于理解，我们分别命名为左孩子和右孩子。如果是N叉树该如何定义呢？其实就是每个节点最多可以有N个指针指向其他地方，这是不用left和right，使用一个List就可以了，也就是：

public class TreeNode {
    int val;
    List<TreeNode> nodes;
}

那能否用数组来存储二叉树呢?其实就是用数组来存储二叉树，顺序存储的方式如图:

用数组来存储二叉树如何遍历的呢?如果父节点的数组下表是i，那么它的左孩子就是i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。但是用链式表示的二叉树，更有利于我们理解，所以一般我们都是用链式存储二叉树。所以大家要了解，用数组依然可以表示二叉树。

使用数组存储的最大不足是可能存在大量的空间浪费。例如上图中如果b分支没有，那么数组种1 3 4 位置都要空着，但是整个数组的大小仍然是7，因此很少使用数组来存储树。

树的遍历方式

我们现在就来看一下树的常见遍历方法。二叉树的遍历方式有层次遍历和深度优先遍历两种:

• 深度优先遍历:先往深走，遇到叶子节点再往回走。
• 广度优先遍历:一层一层的去遍历，一层访问完再访问下一层。

这两种遍历方式不仅仅是二叉树，N叉树也有这两种方式的，图结构也有，只不过我们更习惯叫广度优先和深度优先，本质是一回事。

深度优先又有前中后序三种， 有同学总分不清这三个顺序，问题就在不清楚这里前中后是相对谁来说的。

前序遍历:中左右

中序遍历:左中右

后序遍历:左右中

大家可以对着如下图，看看自己理解的前后中序有没有问题。