激活函数的历史与演变：从 sigmoid 到 ReLU

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232 阅读7分钟

1.背景介绍

深度学习是一种人工智能技术，它主要通过多层神经网络来实现模型的训练和预测。在这种神经网络中，每个神经元的输出是通过一个激活函数来计算的。激活函数的作用是将输入映射到输出，使得神经网络能够学习非线性关系。

在深度学习的早期，主要使用的激活函数是 sigmoid 函数和 hyperbolic tangent 函数（tanh）。随着深度学习的发展，人们发现 sigmoid 和 tanh 函数存在一些问题，如梯度消失或梯度爆炸等。为了解决这些问题，人工智能科学家们提出了许多新的激活函数，如 ReLU、Leaky ReLU、Parametric ReLU 等。

本文将从以下几个方面进行阐述：

  1. 背景介绍
  2. 核心概念与联系
  3. 核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解
  4. 具体代码实例和详细解释说明
  5. 未来发展趋势与挑战
  6. 附录常见问题与解答

1.背景介绍

1.1 sigmoid 函数和 tanh 函数

sigmoid 函数（S）和 tanh 函数都是二分法函数，它们的输入域是 (-∞, +∞)，输出域是 (0, 1) 和 (-1, 1) 分别对应。它们的数学模型如下：

S(x)=11+e−xS(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
T(x)=ex−e−xex+e−xT(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

sigmoid 函数和 tanh 函数的优点是：

  • 可导，梯度连续
  • 能够将输入映射到有限区间内

但是，它们也存在一些问题：

  • 梯度衰减：sigmoid 和 tanh 函数的梯度在输入值变化较大的情况下会很快趋于零，导致梯度下降算法的收敛速度很慢。
  • 梯度爆炸：在某些情况下，sigmoid 和 tanh 函数的梯度可能非常大，导致梯度下降算法不稳定。

1.2 ReLU 函数

为了解决 sigmoid 和 tanh 函数的问题，Kaiming He 等人在 2010 年提出了 ReLU（Rectified Linear Unit）函数。ReLU 函数的数学模型如下：

R(x)=max⁡(0,x)R(x) = \max(0, x)

ReLU 函数的优点是：

  • 可导，梯度连续
  • 梯度衰减问题得到缓解：ReLU 函数的梯度在大多数情况下是 1，只有在输入值为负时梯度为 0。

但是，ReLU 函数也存在一些问题：

  • 死亡单元问题：在某些情况下，ReLU 函数的输出会一直保持在 0，导致部分神经元永远不活跃。

为了解决 ReLU 函数的死亡单元问题，人工智能科学家们提出了许多变种，如 Leaky ReLU、Parametric ReLU 等。

2.核心概念与联系

在本节中，我们将讨论激活函数的核心概念和联系。

2.1 激活函数的作用

激活函数的作用是将神经网络中每个神经元的输入映射到输出。激活函数可以让神经网络学习非线性关系，从而能够解决更复杂的问题。

2.2 激活函数的选择

激活函数的选择对于深度学习模型的性能至关重要。不同的激活函数有不同的数学特性，因此在不同的问题上表现也会有所不同。常见的激活函数包括 sigmoid、tanh、ReLU、Leaky ReLU 和 Parametric ReLU 等。

2.3 激活函数的性质

激活函数应该满足以下性质：

  • 可导：激活函数的梯度必须可计算，以便于梯度下降算法的实现。
  • 梯度连续：激活函数的梯度应该连续，以避免导致梯度下降算法的不稳定。

3.核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解

在本节中，我们将详细讲解 sigmoid、tanh、ReLU、Leaky ReLU 和 Parametric ReLU 等激活函数的数学模型公式、算法原理和具体操作步骤。

3.1 sigmoid 函数

sigmoid 函数是一种二分法函数，它的数学模型如下：

S(x)=11+e−xS(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}

sigmoid 函数的输入域是 (-∞, +∞)，输出域是 (0, 1)。sigmoid 函数的梯度为：

dS(x)dx=S(x)⋅(1−S(x))\frac{dS(x)}{dx} = S(x) \cdot (1 - S(x))

3.2 tanh 函数

tanh 函数也是一种二分法函数，它的数学模型如下：

T(x)=ex−e−xex+e−xT(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

tanh 函数的输入域是 (-∞, +∞)，输出域是 (-1, 1)。tanh 函数的梯度为：

dT(x)dx=1−T(x)2\frac{dT(x)}{dx} = 1 - T(x)^2

3.3 ReLU 函数

ReLU 函数的数学模型如下：

R(x)=max⁡(0,x)R(x) = \max(0, x)

ReLU 函数的输入域是 (-∞, +∞)，输出域是 [0, +∞)。ReLU 函数的梯度为：

dR(x)dx={1,x>00,x≤0\frac{dR(x)}{dx} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}

3.4 Leaky ReLU 函数

Leaky ReLU 函数是 ReLU 函数的一种变种，它的数学模型如下：

L(x)=max⁡(αx,x)L(x) = \max(\alpha x, x)

Leaky ReLU 函数的输入域是 (-∞, +∞)，输出域是 (-∞, +∞)。Leaky ReLU 函数的梯度为：

dL(x)dx={α,x≤01,x>0\frac{dL(x)}{dx} = \begin{cases} \alpha, & x \leq 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

其中，α\alpha 是一个小于 1 的常数，通常取为 0.01 或 0.1。

3.5 Parametric ReLU 函数

Parametric ReLU（PReLU）函数是 Leaky ReLU 函数的一种扩展，它的数学模型如下：

P(x)=max⁡(x,αx)P(x) = \max(x, \alpha x)

Parametric ReLU 函数的输入域是 (-∞, +∞)，输出域是 (-∞, +∞)。Parametric ReLU 函数的梯度为：

dP(x)dx={1,x>0α,x≤0\frac{dP(x)}{dx} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ \alpha, & x \leq 0 \end{cases}

其中，α\alpha 是一个小于 1 的常数，通常取为 0.01 或 0.1。

4.具体代码实例和详细解释说明

在本节中，我们将通过具体代码实例来说明 sigmoid、tanh、ReLU、Leaky ReLU 和 Parametric ReLU 等激活函数的使用方法。

4.1 sigmoid 函数的 Python 实现

import numpy as np

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

x = np.array([-1, 0, 1])
print("sigmoid(x):", sigmoid(x))

4.2 tanh 函数的 Python 实现

import numpy as np

def tanh(x):
    return (np.exp(2 * x) - 1) / (np.exp(2 * x) + 1)

x = np.array([-1, 0, 1])
print("tanh(x):", tanh(x))

4.3 ReLU 函数的 Python 实现

import numpy as np

def relu(x):
    return np.maximum(0, x)

x = np.array([-1, 0, 1])
print("ReLU(x):", relu(x))

4.4 Leaky ReLU 函数的 Python 实现

import numpy as np

def leaky_relu(x, alpha=0.01):
    return np.where(x <= 0, alpha * x, x)

x = np.array([-1, 0, 1])
print("Leaky ReLU(x):", leaky_relu(x))

4.5 Parametric ReLU 函数的 Python 实现

import numpy as np

def parametric_relu(x, alpha=0.01):
    return np.maximum(x, alpha * x)

x = np.array([-1, 0, 1])
print("Parametric ReLU(x):", parametric_relu(x))

5.未来发展趋势与挑战

在本节中，我们将讨论激活函数的未来发展趋势和挑战。

5.1 激活函数的发展趋势

随着深度学习技术的不断发展，激活函数的研究也在不断进步。未来的激活函数可能会具有以下特点：

  • 更加高效：激活函数应该能够更快地计算，以提高深度学习模型的训练速度。
  • 更加灵活：激活函数应该能够适应不同的问题，以提高模型的泛化能力。
  • 更加稳定：激活函数应该能够避免死亡单元问题，以提高模型的训练稳定性。

5.2 激活函数的挑战

激活函数的研究也面临着一些挑战，如：

  • 找到一种能够适应不同问题的通用激活函数。
  • 解决激活函数的死亡单元问题。
  • 提高激活函数的计算效率，以适应大规模数据和模型的需求。

6.附录常见问题与解答

在本节中，我们将回答一些常见问题。

6.1 问题 1：为什么 sigmoid 和 tanh 函数会导致梯度消失？

答案：sigmoid 和 tanh 函数的梯度在输入值变化较大的情况下会很快趋于零，导致梯度下降算法的收敛速度很慢。这是因为 sigmoid 和 tanh 函数的输出域是有限的，当输入值越来越大或越来越小时，梯度就会越来越小。

6.2 问题 2：ReLU 函数会导致死亡单元问题，为什么？

答案：ReLU 函数的梯度在大多数情况下是 1，只有在输入值为负时梯度为 0。在某些情况下，部分神经元的输入会一直保持在负值，导致这些神经元的梯度始终为 0，从而永远不活跃。这就是所谓的死亡单元问题。

6.3 问题 3：Leaky ReLU 和 Parametric ReLU 函数能否解决 ReLU 函数的死亡单元问题？

答案：Leaky ReLU 和 Parametric ReLU 函数能够在一定程度上解决 ReLU 函数的死亡单元问题。通过在输入值为负时的梯度不为 0，这两种函数可以让一些死亡单元重新活跃。但是，这两种函数仍然存在梯度衰减问题，在某些情况下梯度仍然会很快趋于零。

参考文献

[1] Kaiming He, Xiangyu Zhang, Shaoqing Ren, Jian Sun. Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Image Recognition on CIFAR-10. In Proceedings of the 29th International Conference on Machine Learning (ICML), 2010.

[2] Xiangyu Zhang, Shaoqing Ren, Kaiming He. Very Deep Convolutional Networks for Large-Scale Image Recognition. In Proceedings of the 27th International Conference on Neural Information Processing Systems (NIPS), 2013.

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