完全背包问题画图解析 $f[i][j] $表示所有满足从前i个物品选k个物品，总体积超过j的所有选法中价值最大的选法

3. 完全背包问题 - AcWing题库画图

解析

$f[i][j]$ 表示所有满足从前i个物品选k个物品，总体积超过j的所有选法中价值最大的选法

因为每件物品可以无限选，所以每件物品可以选择多少件的情况如下:

从前i个物品中选0个
从前i个物品中选1个
从i个物品中选2个
从i个物品中选k-1个
从i个物品中选k个

一.第i件物品选0个，也就说第i件物品不选，那么选的就是从前i-1个物品中选，且体积不能超过j的选法。用公式表示为 : $f[i-1][j]$

二.从第i个物品中选k个，求最大价值，同样划分为子问题:

1.因为所有选法，第i个物品都选了k个，我们可以不包含第k件物品

2.因为去了第k个，相当于不包括第i个物品，所以应该是从前i-1个物品中选，且体积不能超过 $j-k*v[i]$ (要给第k个物品留空间)

3.再把k个物品i加回来，即 $+k*w[i]$

4.所以从第i个物品中选K个选法是 $f[i-1][j-k*v[i]+k*w[i]]$

ps: 从前i个物品中选0个的选法包含在从前i个物品中选k个的选法中因为从前i个物品中选0个的选法实际上就是从前i个物品中选k个，其中k为0的选法

code

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int dp[N][N];
int w[N],v[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
        
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=0;j<=m;++j)
          for(int k=0;k*v[i]<=j;++k)//前i个物品选k个，k个物品最大体积不能超过j，因为j是总体积，这里还要给第i个物品留空间
               dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]+k*w[i]]);

    cout<<dp[n][m]<<endl;
    
    return 0;
}

之所以超时是因为有三层for循环，而数据范围如下：

1000行，每行最大1000，一行三层循环就已经1e9了。

优化

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可以发现
         f[i,j]的每一项都比 f[i,j-v]的每一项多一个w.
可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int dp[N][N];
int w[N],v[N];
int main()
{
     int n,m;
     cin>>n>>m;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
    {
        dp[i][j] = dp[i-1][j];
        if(j-v[i]>=0)//前i个物品选k个的体积大于0
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
    }
        cout<<dp[n][m]<<endl;
    
    return 0;
}