为了学好Rust也是拼了系列-数学库圆

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为了学好Rust也是拼了系列-数学库圆

在几何学的世界中,圆是一种异常引人注目的完美形状。其优雅的外观和独特的数学属性使其成为自然界、艺术和科学领域中无法忽视的存在。圆的定义简单而直观,它是平面上所有到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。然而,这个简单的概念却涵盖了丰富的数学理论和实际应用。本文将带领读者深入探索圆的奥秘,从基本的几何特性到实际应用的领域,揭示这个几何学之美的独特魅力。随着我们逐步揭开圆的层层面纱,让我们一同沉浸在这个数学之美的宇宙中。

圆的定义

圆的定义简单而直观,它是平面上所有到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。

我们可以将圆的定义转化为数学公式,即:

(xa)2+(yb)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

其中,aabb 是圆心的坐标,rr 是半径。

用 Rust 定义圆可以使用如下程序

#[derive(Debug, PartialEq)]
pub struct Circle {
    /// 圆的中心坐标
    pub x: f64,
    pub y: f64,
    /// 圆的半径
    pub radius: f64,
}

求圆

在知道元的定义后通常情况下需要对圆进行求解。

两个点求圆

已知两个点和半径,可以通过以下步骤求解圆的方程:

  1. 计算圆心坐标:

    • 设已知的两个点分别为 (x1,y1)(x_1, y_1)(x2,y2)(x_2, y_2),半径为 rr
    • 圆心的坐标可以通过取两个点的中点来得到: 圆心=(x1+x22,y1+y22)\text{圆心} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
  2. 计算圆的方程:

    • 圆的标准方程为: (xh)2+(yk)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 其中 (h,k)(h, k) 是圆心的坐标。
    • 将圆心坐标代入方程,得到具体的圆方程。

综合以上步骤,整个过程可以用以下公式表示:

(xx1+x22)2+(yy1+y22)2=r2(x - \frac{x_1 + x_2}{2})^2 + (y - \frac{y_1 + y_2}{2})^2 = r^2

这个方程描述的就是以已知两点为直径的圆。请确保 rr 是两点之间的距离的一半。

程序解如下

/// 通过两点和半径创建圆
pub fn from_points_and_radius(point1: &Point, point2: &Point, radius: f64) -> Option<Circle> {
    // 计算圆心的中点坐标
    let center_x = (point1.x + point2.x) / 2.0;
    let center_y = (point1.y + point2.y) / 2.0;

    // 计算两点间的距离
    let distance = ((point2.x - point1.x).powi(2) + (point2.y - point1.y).powi(2)).sqrt();

    info!("圆的半径为 {},圆心为 ({}, {})", radius, center_x, center_y);
    // 验证半径是否有效
    if radius == distance / 2.0 {
        Some(Circle {
            x: center_x,
            y: center_y,
            radius,
        }
        )
    } else { None }
}

三点求圆

已知三个点,可以通过以下步骤求解包含这三个点的圆的方程:

  1. 计算两条中垂线的交点:

    • 选择任意两对点,计算它们的中点,然后计算它们的斜率的负倒数,即中垂线的斜率。
    • 通过中点和斜率可以得到中垂线的方程。对于另外两对点也做同样的计算。
    • 解这两条中垂线的方程,得到它们的交点,这个交点就是所求圆的圆心。
  2. 计算圆的半径:

    • 使用圆心和任意一个已知点的距离作为半径。距离的计算可以使用两点之间的距离公式: r=(x1h)2+(y1k)2r = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2} 其中 (h,k)(h, k) 是圆心的坐标,(x1,y1)(x_1, y_1) 是已知点的坐标。
  3. 写出圆的方程:

    • 圆的标准方程为: (xh)2+(yk)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 将圆心坐标 (h,k)(h, k) 和半径 rr 代入方程即可。

程序解如下

/// 三个点算圆
pub fn from_points(p1: &Point, p2: &Point, p3: &Point) -> Option<Circle> {
    // 计算圆心坐标 (h, k)
    let h = (p1.x + p2.x) / 2.0;
    let k = (p1.y + p2.y) / 2.0;

    // 计算半径 r
    let r = ((p1.x - h).powi(2) + (p1.y - k).powi(2)).sqrt();

    // 检查第三个点是否在圆上
    let distance_to_center_squared = (p3.x - h).powi(2) + (p3.y - k).powi(2);
    let epsilon = 1e-6; // 设置一个小的误差范围

    if (distance_to_center_squared - r.powi(2)).abs() < epsilon {
        Some(Circle { x: h, y: k, radius: r })
    } else {
        None
    }
}

圆上的点

通过计算圆上的点可以在一个二维平面内将一个圆的轮廓进行绘制。

计算圆上的点可以使用圆的参数方程,参数方程描述了圆上每个点的坐标。圆的参数方程为:

x=h+rcos(θ)x = h + r \cdot \cos(\theta) y=k+rsin(θ)y = k + r \cdot \sin(\theta)

其中:

  • (h,k)(h, k) 是圆心的坐标,
  • rr 是圆的半径,
  • θ\theta 是极角(polar angle),在 002π2\pi 的范围内变化。

通过选择不同的 θ\theta 值,就可以得到圆上的不同点的坐标。这是因为 cos(θ)\cos(\theta)sin(θ)\sin(\theta) 分别给出了在极坐标系中的点与原点之间的水平和垂直距离。

举例说明,假设圆的圆心是 (0,0)(0, 0),半径是 11,我们可以通过以下方式计算圆上的点:

  1. θ=0\theta = 0 时,x=0+1cos(0)=1x = 0 + 1 \cdot \cos(0) = 1y=0+1sin(0)=0y = 0 + 1 \cdot \sin(0) = 0。因此,(1,0)(1, 0) 是圆上的一个点。
  2. θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} 时,x=0+1cos(π2)=0x = 0 + 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = 0y=0+1sin(π2)=1y = 0 + 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 1。因此,(0,1)(0, 1) 是圆上的一个点。
  3. θ=π\theta = \pi 时,x=0+1cos(π)=1x = 0 + 1 \cdot \cos(\pi) = -1y=0+1sin(π)=0y = 0 + 1 \cdot \sin(\pi) = 0。因此,(1,0)(-1, 0) 是圆上的一个点。

通过不断改变 θ\theta 值,可以得到圆上的其他点。在实际编程中,可以通过循环生成一系列 θ\theta 值,然后根据参数方程计算相应的 xxyy 坐标,从而得到圆上的点。

程序解如下

pub fn generate_points_on_circle(center_x: f64, center_y: f64, radius: f64, num_points: usize) -> Vec<Point> {
    // 存储生成的点的容器
    let mut points = Vec::with_capacity(num_points);

    // 计算角度步长,确保点在圆上均匀分布
    let angle_step = 2.0 * PI / num_points as f64;

    // 生成点的坐标
    for i in 0..num_points {
        let angle = i as f64 * angle_step;
        let x = center_x + radius * angle.cos();
        let y = center_y + radius * angle.sin();
        points.push(Point { x, y });
    }

    points
}

圆的关系

圆与圆相交

要判断两个圆是否相交,可以利用它们之间的距离和半径之间的关系。设两个圆的圆心分别为 (x1,y1)(x_1, y_1)(x2,y2)(x_2, y_2),半径分别为 r1r_1r2r_2

两个圆相交的条件是它们之间的距离小于两个圆的半径之和,即:

(x2x1)2+(y2y1)2r1+r2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \leq r_1 + r_2

如果上述不等式成立,两个圆相交;否则,它们不相交。

具体的步骤如下:

  1. 计算两个圆心之间的距离 dd

d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

  1. 判断是否满足相交条件:

dr1+r2d \leq r_1 + r_2

如果不等式成立,说明两个圆相交;如果不成立,说明两个圆不相交。

程序解如下

pub fn circles_intersect(&self, other: &Circle) -> bool {
    let distance_between_centers = ((self.x - other.x).powi(2) + (self.y - other.y).powi(2)).sqrt();
    let sum_of_radii = self.radius + other.radius;

    distance_between_centers < sum_of_radii
}

圆与圆相切

对于两个圆是否相切,数学上的条件是它们之间的距离等于两个圆的半径之和。形式化表示为:

(x2x1)2+(y2y1)2=r1+r2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = r_1 + r_2

其中,(x1,y1)(x_1, y_1)(x2,y2)(x_2, y_2) 分别是两个圆的圆心坐标,r1r_1r2r_2 是它们的半径。

如果上述等式成立,那么两个圆相切;如果不成立,它们不相切。这是数学上判断两个圆是否相切的基本条件。

程序解如下

/// 判断两个圆是否相切
/// 它们的圆心之间的距离等于两个圆半径之和
/// ∣distance(center1,center2)−(radius1+radius2)∣<ϵ
pub fn circles_touch(&self, other: &Circle) -> bool {
    let distance_between_centers = ((self.x - other.x).powi(2) + (self.y - other.y).powi(2)).sqrt();
    let sum_of_radii = self.radius + other.radius;

    (distance_between_centers - sum_of_radii).abs() < f64::EPSILON
}

是否包含一个圆

要判断一个圆是否包含另一个圆,可以检查两个圆心之间的距离和半径的关系。设两个圆的圆心分别为 (x1,y1)(x_1, y_1)(x2,y2)(x_2, y_2),半径分别为 r1r_1r2r_2。圆1包含圆2的条件是:

(x2x1)2+(y2y1)2+r2r1\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} + r_2 \leq r_1

如果上述不等式成立,说明圆2完全包含在圆1内部;否则,圆2不被圆1包含。

程序解如下

/// 判断一个圆是否完全包含另一个圆
/// 它们的圆心之间的距离加上小圆半径小于等于大圆半径
/// distance(center1,center2)+radius2≤radius1
pub fn circle_contains(&self, other: &Circle) -> bool {
    let distance_between_centers = ((self.x - other.x).powi(2) + (self.y - other.y).powi(2)).sqrt();
    distance_between_centers + other.radius <= self.radius
}