Acwing 870. 约数个数数学870. 约数个数 - AcWing题库这道题我们套公式，约数个数=(x1+1

这道题我们套公式，约数个数=(x1+1)(x2+1)(x3+1)…(xk+1)

验证：

12可以分解为 $2^2 × 3^1$ 所以2可以取 0-3个，3种取法。3可以取0~1个，2种取法。一共有 $2 × 3=6$ 种

也就是把一个数N变成它的质因数的次形式，写作:

$N=(p1^x1) × (p2^x2) ×(p3^x3) × …… (pk^xk)$

那么N的约数个数就为它的质因数的指数+1相乘的结果，写作:

$N的约数个数=（x1+1) × (x2+1) × (x3+1) × …… (x^k+1)$

code

我们先求出来n的所有质因数，用一个map来存放质因数和指数，最后用公式求出约数个数

其中求质因数的话我们是这样求的:

for(int i=2;i<=n/i;i++)if(n%i==0)h[i++],cnt++;

cnt++的话就是相同的质数的指数++

得出来的就是 $20=2^3+3^1+5^1$

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思想

这道题要我们求 $(a×b×c)mod$ q的值。

根据题目给的数据范围我们可知，把它们全部相乘之后再 mod 肯定是爆内存了。

因此我们可以用求约数个数的公式： $N的约数个数=（x1+1) × (x2+1) × (x3+1) × …… (x^k+1)$

先把a,b,c三个数分别化为自己的质因数幂形式，然后再+1相乘，因为数有可能还是很大，所以还是要取模。

#include<iostream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int mo=1e9+7;
unordered_map<int,int> h;//用来存放质因数以及它对应的指数
typedef long long LL;
int n;

//分解质因数
void get_divisors(int n)
{
    for(int i=2;i<=n/i;i++)
    {
        while(n%i==0)
        {
            h[i]++; //i对应的质数的次方+1
            n/=i;//除尽i
        }
    }

        if(n>1)h[n]++;//保留最后一个质因数


    //以上功能就完成了存放所有质因数的指数个数
}
int main()
{
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a=0;
        cin>>a;

        get_divisors(a);
    }

    LL res=1;//res用来存放答案，答案的值可能很大，所以用long long 
    for(auto iter:h)
    {
        res=res*(iter.second+1)%mo;//N的约数个数=（x1+1) × (x2+1) × (x3+1) × …… (x^k+1)
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

}

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