Cryptography(2023 Fall)

词汇解释区

PrivKE

全称为 Private-Key Encryption 私钥加密, 两人共享一个私钥，通过私钥进行加密和解密。

PPT

polynomial-time algorithm

Slides区

lec2-3

Outline

1. Kerckhoff’s principle
2. Shift Cipher
3. substitution cipher
4. letter frequency analysis
5. Vigenère cipher
6. Kasiski’s method

Kerckhoff’s principle

加密算法不一定要保密， 即便敌手知道了加密算法也无法对密钥进行破解

Shift Cipher

加密表达式为$Enc(k,m_i)$，即每个密钥向前移动至$(m_i+k)\%26$

• Improved Attack of the Shift Cipher

Substitution Cipher

introduction

1. 将位移改成字符映射表格，每个字符都能映射到其他字符上

• security

2. 不安全，可以通过词频来破解

Vigenère Cipher

加密算法

将明文$m$分解成$t$份，再取$t$个密钥$k=k_1k_2k_3\cdots k_t$，每一份密钥的每一位对应着不同的密钥进行位移。

破译方法

1. 枚举$Key$的长度$t$
2. 对于每一份的同一位，如$m_1,m_{t+1}\cdots$,都是共享同一个位移的
3. 我们可以枚举key的长度$t$
4. 对于$w\in[1,t]$，对于第$w$位，枚举k从$[0,25]$，出现$\sum_{i=0}^{25}p_iq_{i+k}\approx 0.65$，那么第$w$位的位移可能是为$k$
5. 通过上面方法，我们收获了每个$t$的情况下，如果枚举的$t$的每一个$w$，都有存在很接近0.65的，那么就有概率解密成功。

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Outline

1. perfect secrecy
2. one-time pad
3. perfect indistinguishability

perfect secrecy

• 定义

不管加密后的密钥是什么，都不能影响加密前

当$P[C=c]>0$，满足下面公式，就是完美加密

• 定理

用来证明某个scheme是完美加密

• 限制

完美加密中，密钥空间的大小必须大于等于消息空间的大小。

OTP

• 定义

把明文和等长的密钥相互亦或得到密文

• 性质

1. OTP是完美加密（用定理证明，如下图所示）

2. 缺点：
   • 密钥太长了
   • 没办法modify it at will
   • 没办法重复用

Perfect Indistinguishablility

有一个敌手和挑战者，敌手给两个明文，挑战者将其中一个加密后发给敌手，敌手如果判断的出该密文是之前两个中的哪个的概率=1/2，那么就将该策略为完美不可区分性。

• 定义

$Pr[Privk^{eav}_{A,Π}=1]=\frac{1}{2}$

• 定理1

• 例子：Vigenère Cipher

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• negligible
• asymptotic approach

negligible function

a function is negligible if there exists N such that f(n) < 1/p(n) for all n > N and $\forall p(\cdot)$.

1. 指数的倒数一定是可忽略的，如$\frac{1}{2^n}$
2. 可忽略函数加乘后依旧是可忽略函数

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IND-EAV

这玩意就是，有挑战者和攻击者，攻击者给挑战者两个密钥，挑战者加密以后给攻击者，攻击者确认到底加密的是哪一个，下面这个是精确定义。注意和Perfect Indistinguishablility要区分一下，这个的1/2是可以带可忽略函数的。

Statistical Distance

统计距离，$SD(X,Y) = \frac{1}{2}\sum_{r\in[0,1]^n}|Pr[x=r] - Pr[y=r]|$

这个很好算，$X,Y$是全集$r$的变量，每个变量的概率分布不一样。把特殊点单独拿出来计算一下即可，如下图所示。

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computationally indistinguishable, pseudorandom, PRG, fixed-length encryption from PRG

computationally indistinguishable

上图所示，满足定理后，计算不可区分，计算不可区分分为两种，一种是统计不可区分，一种是完美不可区分。

• 定理1：如果$SD(X_n,Y_n)<=negl(n)$，那么 $X={X_n}, Y={Y_n}$ 是统计上不可区分的，简写$X \equiv_{s.i} Y$
• 定理2：如果$SD(X_n,Y_n)=0$，就是完美不可区分$X \equiv_{p.i} Y$

一些计算不可区分的特性，懒得记了，打个cheat sheet算了。

Pseudo randomness

如果某个分布和均匀分布之间是计算不可区分的，那么称之为伪随机

Pseudo randomness generator (PRG)

伪随机发生器$G(seed)$

1. 多项式时间内完成
2. 出来的长度一定比$seed$的长度长
3. 伪随机的，即出来的东西和均匀分布之间的统计距离小于可忽略函数

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One-Way Function

单项函数，知道$y$，但是无法在多项式时间里推出$x$。

Hard-Core Predicate

看不懂 算了

IND-CPA

注意一下这个关系

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Pseudorandom Function, PRF

伪随机函数，$F(K,X)$，$X$是输入，$K$是密钥

1. 保证输入输出的长度是相同的
2. 敌手无法区分输出的内容和随机生成的内容