完全二叉树的理解和相关公式推导简单介绍完全二叉树以后，专门对nl = 2n + 1，l = log(n+1)等二叉树公式

完全二叉树简介

完全二叉树是指，所有节点最多有两个叉
并且每层都得从左向右排列
必须上一层排满了，才能排下一层
度是指，当前节点有几个子节点。在二叉树中，只可能有三种不同的度节点
- 2度节点，即有左右两个子元素的节点
- 1度节点，只有一个子元素的节点，由于完全二叉树的特性，1 度节点最多只有一个
- 0度节点，即叶子节点。叶子节点最多出现在后两层。

如下是14个节点的完全二叉树。

           0
         /   \
        /     \
       /       \
      /         \
     1           2
    / \         / \
   /   \       /   \
  3     4     5     6
 / \   / \   / \   /
7   8 9  10 11 12 13

其实上面的完全二叉树，是可以从上往下，从左往右，放入到一个数组中，为了方便表示，上图直接把节点的值写成了数组下标。

几个公式和其证明

本文中的 log 如果忽略底数，就是以 2 为底，即 log2

nodeNum = edgeNum + 1

在任何不循环的树中，其节点数量nodeNum 和边数量edgeNum的关系是 nodeNum = edgeNum + 1

例如当前这棵树只有一个节点，那么 nodeNum = 1，edgeNum = 0
之后，在这棵树上，每添加一个点，必须要添加一个边。例如再添加n个点，那么nodeNum = n + 1，edgeNum = n
通过上述两个和n相关的关系式，可以得出 nodeNum = edgeNum + 1

叶子节点推算公式 N0 = (n-1)Nn + (n-1)Nn-1 + ... + 2*N3 + N2 + 1

在一棵度最大为 4（这里用 n 表示，比较好，但是那个数学公式用代码表述比较麻烦，所以先用实数 4 举例）的树中，假设

0 度节点有n0个
1 度节点有n1个
2 度节点有n2个
3 度节点有n3个
4 度节点有n4个

那么总节点数nodeNum的值为nodeNum = n0 + n1 + n2 + n3 + n4 从边的角度讲：

0 度节点有 0 个边
1 度节点有 1 个边
2 度节点有 2 个边
3 度节点有 3 个边
4 度节点有 4 个边

所以 edgeNum = 0*n0 + 1*n1 + 2*n2 + 3*n3 + 4*n4
又有nodeNum = edgeNum + 1 和 nodeNum = n0 + n1 + n2 + n3 + n4
可以得出 1*n1 + 2*n2 + 3*n3 + 4*n4 + 1 = n0 + n1 + n2 + n3 + n4
即叶子节点数量n0：n0 = 3*n4 + 2*n3 + n2 + 1
这个公式适用于任何多叉树叶子节点的计算，

3 叉树为：n0 = 2*n3 + n2 + 1
5 叉树为：n0 = 4*n5 + 3*n4 + 2*n3 + n2 + 1
n 叉树为：N0 = (n-1)*Nn + (n-1)*Nn-1 + ... + 2*N3 + N2 + 1(这里因为 md 不能用下标 n 这种表示，所以把 n 大写了。)

二叉树叶子节点公式 n0=n2+1

其中，二叉树的情况为：
节点的情况

0 度节点有n0个
1 度节点有n1个
2 度节点有n2个

边的情况：

0 度节点有 0 个边
1 度节点有 1 个边
2 度节点有 2 个边

按照上述推导以后得出 n0 = n2 + 1，即叶子节点 比 2度节点多一个

二叉树左子树位置计算公式 nl = 2n + 1

假设现在有个一个节点，它在数组中下标为n,它和其左子树下标nl的关系是nl = 2n + 1,那右子树nr就是nl + 1即nr = 2n + 2。证明如下。
设想这棵二叉树只绘制填充到当前元素左子树被填充的情况（可以参考成下图，5 就是此时的 n）。

           0
         /   \
        /     \
       /       \
      /         \
     1           2
    / \         / \
   /   \       /   \
  3     4     5     6
 / \   / \   /
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所有后续兄弟节点都没有子元素，即都是叶子节点
所有前序兄弟都被填满，即所有前续兄弟都是2度节点
叶子节点数量 n0: n0 = 后续兄弟数量 + 前序兄弟 * 2 + 1，+1 是因为本节点的左子节点也是叶子节点。
此时nl的位置就是当前节点位置加上所有叶子节点的数量即：nl = n + n0(等式 1)
2度节点的数量为n2: 又由于当前节点之前所有节点都被填充满了，所以当前节点之前的节点，都是2度节点，那就是从 0 到 n-1，总共有 n 个，即n2 = n(等式 2)
我们从上节推算出了二叉树中叶子节点和2度节点的数量关系为n0 = n2 + 1(等式 3)

带入上述等式

nl = n  + n0
n2 = n;
n0 = n2 + 1;
// 带入等式：
nl = n  + n2 + 1
   = n + n + 1
   = 2n + 1

那么右子树的位置就是 2n+2，n 的父元素的位置就是(n - 1) / 2，对结果向下取整。

完全二叉树的层高：(log(n+1) + 1) 向下取整

在完全二叉树中，第 l 层（层数从 1 开始计算），最多存放 2^(l-1) 个节点。例如第 1 层有 1 个节点（根节点），第 2 层有 2 个节点，第 3 层有 4 个节点。
那么本层最后一个元素的就是第 1 + 2 + 4 + ... + 2^(l-1)个元素，即2^l - 1
上一层最后一个元素就是第2^(l-1) - 1个。
那么第 l 层元素存放的就是第2^(l-1)到2^l - 1个。

例如当前有个元素，它的下标为 n，那么，它就是第n+1个元素，假设它所处的层级是第 l 层，就有表达式：2^(l-1) <= n+1 < 2^l(注意，2^l 即下层第一个元素)，取对数得l-1 <= log(n+1) < l
即 l 层高为：log(n+1) + 1向下取整。eg：

索引为 6 的元素，层高为 log(6+1) + 1，3.88，向下取整为 3。
索引为 7 的元素，层高为 log(7+1) + 1，4，向下取整为 4。

优先级队列(二叉堆)

数据结构中有一种结构叫，二叉堆，它其实就是完全二叉树，只是存储在数组中时，根节点从索引 1 开始存入。如下是一个二叉堆放在数组中的示意图。

           1
         /   \
        /     \
       /       \
      /         \
     2           3
    / \         / \
   /   \       /   \
  4     5     6     7
 / \   / \   / \   /
8   9 10 11 12 13 14

二叉堆左子树位置计算公式 nl = 2n

等式 1n0 = n2 + 1和索引或者说二叉树存储方式无关，仍然成立。
等式 2n2 = n不再成立，因为此时 n 代表的不再是索引，而是第几个。第 n 个节点，其前面的的节点都是2度节点这个理论仍然成立，即2度节点的数量为n2 = n - 1
等式 3nl = n + n0仍然成立，因为这个也和索引起始点无关，n 和 nl 的差值，永远是 n0

带入三个等式得：nl = n+n0 = n+n2+1 = n+n-1+1 = 2n

二叉堆的层高 l = (log(n)+1) 向下取整

第 l 层元素存放的就是第2^(l-1)到2^l - 1个。这个结论仍然成立(l从1开始)。

假设要求取第n个元素在第几层，那么就有2^(l-1) <= n < 2^l，对数计算后l就是log(n) + 1向下取整。

第 6 个元素（即索引为6），层高为 log(6) + 1，3.58，向下取整为 3。
索引为 7 的元素，层高为 log(7) + 1，3.88，向下取整为 3。
索引为 8 的元素，层高为 log(8) + 1，4，向下取整为 4。

完全二叉树的理解和相关公式推导