置换群法

首先我们可以发现，这道题并不是要求我们两两交换，我们只需要把a[i]放到其该放的位置即可。

我们将其下标标记出来看看：我们可以将其抽象为环：我们发现规律：

一. 一个环有n条边n个点

二. 一条边只有一个出度 (只指向一个点1)，且一个点只有1个进度(只被一条边指向)

现在我们让1这个值指向下标为1的位置:

用环表示就是：

因此我们发现每次交换两个点就会分裂出来一个环。

那么我们最终期望的环形图就是所有的点都自成环：

第二种情况就是不同环的进行交换：

我们发现两个不同的环进行交换必然会进行融环：

总结:对于交换同一个环中的节点，就是裂成两个环。

刚开始有k个环，我们交换同一个环中的节点使其变为一个有序数列，那么就会裂成多个环。

最后，总共会有n个环。最后我们要把整体合并变为一个有序数组，那么就需要合环（消环）。

分裂了多少环就需要消多少环。一共分裂了n-k个环。

实际上也是交换了n-k次。

code

我们可以用并查集去做。

首先读入题目给的顺序到一个新数组a中：

3 1 2 5 4

然后我们的并查集数组存正确的顺序：

1 2 3 4 5

这个时候我们去判断是否在一个环：

我们判断两个点是否在同一个环的方法是判断它们的根是否相同，如果两个点是同一个根，说明它们就在同一个环中，否则就不处于同一个环，那么我们就需要合并环。

我们合并环的方法是将其正确下标赋值给它。

我们判断两个点是否是同一个根的方法就是让它们的根为自身，这样可以直接判断两个数是否相等来确定两个点是否是同一个根。

# include<iostream>
# include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e4+10;

int n, res;
int a[N], f[N], cnt[N];

int find(int x)
{
    
    cout<<"x: "<<x<<endl;
    cout<<"f[x]: "<<f[x]<<endl;
    if(x!=f[x])   return f[x] = find(f[x]);
    return f[x];
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i)   f[i] = i;             //初始化并查集中的数组f[]
    for(int i=1; i<=n; ++i)   cin>>a[i];            //读入数据

    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        int fa = find(a[i]), fb = find(i);
        if(fa!=fb)   f[fa] = fb;                    //如果不在一个集合，就合并集合
    
        cout<<"fa: "<<fa<<endl;
        cout<<"fb: "<<fb<<endl;
        cout<<"f[fa]: "<<f[fa]<<endl;
        
    }

    for(int i=1; i<=n; ++i)             //判断回环的个数（并查集的大小）
    {
        int fa = find(a[i]);
        cout<<"  a[i]: "<<a[i]<<endl;
        cout<<"   fa: "<<fa<<endl;
        if(!cnt[fa])   res++;
        cnt[fa]++;
    }

    cout<<n-res<<endl;

    return 0;
}

acwing第七届蓝桥杯省赛B组 1224. 交换瓶子 图，置换群法

置换群法

code

acwing第七届蓝桥杯省赛B组 1224. 交换瓶子图，置换群法