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积分是什么？我想这个问题有很多答案，被讲述的最多的理解方法可能是函数下方与坐标轴围成的面积。没错，这显然是正确的，但在那些超越了一维积分的广义的积分中，比如多重积分、环路积分、通量积分、路径积分，面积已经不是一个很好的理解方法了。或许函数下方面积这个理解，只是一个简单的特例而已。那么，积分是什么呢？
一个更好的理解是微分的逆运算，或者说，微分的反向操作，把许多瞬息相加在一起。请特别注意，是微分的反向操作，不是求导的反向操作！在数学表达中我们很容易发现，积分式子里面必然是带有微分的，例如
这正是因为积分本身是微分的逆运算，它需要把某个微分操作还原。具体怎么还原呢？其实非常简单，我们之前讲过求微分的过程本身就是不断地展开d的表达式，如果我们反向操作将d的表达式重新合并，最后我们就会得到这种形式
而积分是微分的逆运算，意味着积分符号和微分符号d可以直接相互抵消。这就是数学上积分运算的基本原理。
这也是为什么我们要努力掌握使用微分的求导方法，因为这会让我们对积分的理解更加深入，做积分的时候会更加熟练。举个例子：
就和微分的过程一样，我们不断地将d后面的东西视为方框，将更多的东西收进去。这其实就是某些书上讲的花里胡哨的“凑微分法”。
但是，这些数学运算并没有真正意义地解决我们的问题，积分是什么？我想知道的并不是积分的数学构造，而是这个数学构造背后的那种想法。
爱因斯坦说过一句著名而且相当炫酷的话：“我想要知道神是如何创造世界的。我并不关心这种或那种现象，也不关心这种或那种元素的光谱。我想了解神的想法，其他都是细枝末节。”我当然不觉得我有窥探神的想法的能力，我只想知道发明这些数学工具的数学家，在想什么？
下面是我的理解，它会有一点点难，如果你只是想学会怎样做题，那么看到这里其实就可以了。
我们已经发现，积分是微分的逆运算，所以积分其实是在微分的基础之上的。与其问积分是什么，其实我们就是在探索微积分在做什么。我下面要讲的，是微积分的哲学。
我们之前讲过，微积分是研究世界的变化的。我们已经明白了微分的思想，通过考察事物变化的瞬息，我们可以找到不变的关系。我们把变量在数轴上奔跑时一瞬间的残影叫做微分。想象一下这个场景，一个变量在数轴上快乐的跑来跑去，就像大风吹动的树叶一样自由自在。你手上则拿着一朵花，与风吹动的叶子玩游戏。你总是根据树叶的位置跑到对应的位置上。你们的位置受到函数关系的束缚，而我们已经讲过，树叶被吹动瞬息的残影，和那一瞬间你奔跑的残影有一个普遍的规律，这就是微分之间不变的关系：导数。
但如果，你不是那个奔跑的人，而是那个人手上的花呢？如果你是一朵含苞待放的花，你看不到你在这个宏大世界中的位置，你只能感受到自己在奔跑，在每一瞬间都有一个残影。同时你似乎也感受到了不远的地方有你的叶子，你也感受到大风吹起时它的残影，你们仿佛有某种联系。对你来说这个世界好像非常地无序而且混乱。你能做什么呢？
微积分告诉我们，你可以将微分这种数学操作反向计算，如果你能在纸上算出答案，你就能“看到”那个你原本无法理解的宏大的整体规律。“哦，原来有个人根据这个函数在抓着我奔跑啊！”
是的，我们在理解和运算微分的时候宛如全知全能的神明，我们不断地分析瞬息间局部的变化，求得永恒的规律。然而，我们可曾想到，我们自己在更大的整体面前，是否也是一瞬息、一局部呢？就像风吹动树叶一样，时间的洪流推动表针不断向前，我们以时间的一瞬为参照，感受到的世界的变化，是否也像是小花那样，在某种更宏大的规律下左右摇摆呢？
早在微积分诞生之前，古今中外有无数的哲学家早已对这个问题进行了描述，科学家也在这种思想的引领下不断探索了数百年。我们看到“朝菌不知晦朔”的短暂，在一瞬间就可以理解世界某些变化的全貌，但我们依然不断观察那些更瞬间的瞬间、更局部的局部，我们发现了细胞、分子、原子、夸克，乃至获得今年诺贝尔物理学奖的阿秒光脉冲，我们试图微分到底，去理解世界最底层最普适的规律。但同时，我们也想到“天之苍苍，其正色邪？”的困惑。蓝色是天本身的颜色吗？是否是因为我们太渺小了呢？当我们承认了自己的平凡和渺小，意识到自己只是一朵小花的时候，我们才能看到天空蓝色背后的电磁辐射原理，理解日心说、引力、星系和黑洞，我们才会渴望探索宇宙大爆炸时的奇妙和宇宙终极的悲怆。
佛曰：一花一世界。
微积分也只是这个宏大思想的一种描述，它主要针对的是世界的变化。与这些文学相比微积分是一个生涩的描述，但它是更精确、更普适的，因为这种描述是数学。我们看到一朵花，很自然地去分析它的构成，研究它细小的分子和绽放的瞬间。积分提醒我们，其实我们自己，我们的文明和我们的世界，也是一朵小花。而我们怎样去窥探更宏大的规律呢？看看手中的花，我们所要做的，就是把观察手中的花这个操作，反过来就好。在数学上，我们可以从变量残影间变化的规律，找到更宏大的不变的函数关系。
这就是微积分的意义。微分告诉我们去关注瞬息的变化，而积分提醒我们，我们自己也是一瞬息而已。这也是为什么微积分伟大，为什么我想讲这个话题，因为微积分用精密而抽象的数学，去描述了这些模糊而玄妙的哲学思想。它不仅帮助我们计算了炮弹发射的角度，同时也为科学指明了观察世界的角度。
