向量点乘和叉乘在计算机图形学中的应用

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向量点乘和叉乘在计算机图形学中的应用

向量点乘（Dot Product）（内积）

定义：空间中两个向量：a⃗=(x1,y1,z1)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)，b⃗=(x2,y2,z2)\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)。

定义：a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}之间的夹角为θ\theta。

  1. 代数角度理解：点积是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作
a⃗⋅b⃗=(x1y1z1)⋅(x2y2z2)=x1x2+y1y2+z1z2 \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ \end{pmatrix} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2
  1. 几何角度理解：点积是两个向量的模与它们夹角余弦的积

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a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| cos\theta
  1. 推导：

设a⃗\vec{a}的终点为A=(x1,y1,z1)A = (x_1,y_1,z_1)

设b⃗\vec{b}的终点为B=(x2,y2,z2)B = (x_2,y_2,z_2)

设原点为O(0,0,0)O(0,0,0)。

在三角形OABOAB中，根据余弦定理：

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可得：

∣AB⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ |\vec{AB}|^2 = |\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta
∣a⃗∣=(x12)+(y12)+(z12) |\vec{a}| = \sqrt{(x_1^2)+ (y_1^2) + (z_1^2)}
∣b⃗∣=(x22)+(y22)+(z22) |\vec{b}| = \sqrt{(x_2^2)+ (y_2^2) + (z_2^2)}
∣AB⃗∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2 |\vec{AB}| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+ (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}

代入得：

∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ=x1x2+y1y2+z1z2 |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

即：

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ=x1x2+y1y2+z1z2 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

  1. 结论：

a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} 点乘的结果表示a⃗\vec{a}在b⃗\vec{b}方向上的投影与 ∣b⃗∣|\vec{b}|的乘积。

反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直。具体对应关系为：

（1） a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} >0，则， a⃗\vec{a} 和b⃗\vec{b} 方向基本相同，夹角在 0。0^。 到90。90^。之间。

（2） a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} =0，则， a⃗\vec{a} 和b⃗\vec{b} 方向垂直。

（3） a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} <0，则， a⃗\vec{a} 和b⃗\vec{b} 方向基本相反，夹角在 90。90^。 到180。180^。之间。


4.点乘的应用：a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}

（1）判断向量在方向上的相似度

（2）判断前面（forward）或者后面（backward），如果点积大于0，说明cos⁡θ\cos\theta>0，说明a在前面。

向量叉乘（Cross Product）（外积）(向量积)

定义：空间中两个向量：a⃗=(x1,y1,z1)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)，b⃗=(x2,y2,z2)\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)。

定义：a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}之间的夹角为θ\theta。

  1. 代数角度理解：
a⃗×b⃗=（y1z2−z1y2，z1x2−x1z2，x1y2−y1x2） \vec{a} \times \vec{b} = （y_1 z_2- z_1 y_2，z_1 x_2-x_1 z_2 ，x_1 y_2-y_1 x_2 ）
  1. 几何角度理解：

令 n⃗\vec{n} 为 a⃗\vec{a}和 b⃗\vec{b}所构成的平面的单位向量

a⃗×b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣sinθ∗n⃗ \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| sin\theta * \vec{n}

理解： 运算结果还是一个向量，并且与这两个向量都垂直，可以用右手定则确定方向。

  1. 右手定则：a⃗\vec{a}X b⃗\vec{b}，则用四指头从a⃗\vec{a}旋转至 b⃗\vec{b}。大拇指方向所指就是叉乘结果向量的方向。

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  1. 叉乘的应用：a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b}

（1）判断a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b}的左右关系:

a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} >0，则 a⃗\vec{a} 在 b⃗\vec{b}的右侧。

（2） 判断点是否在三角形内部：

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![](vx_images/89172321250379.png =385x)

三角形abc按顺序，逆时针，形成 ab⃗\vec{ab}、bc⃗\vec{bc}、ca⃗\vec{ca}。

以每个顶点为基准：形成 ap⃗\vec{ap}、bp⃗\vec{bp}、cp⃗\vec{cp}。

根据叉乘的性质：右手定则：假设p在三角形内部：则必然 ab⃗\vec{ab}、bc⃗\vec{bc}、ca⃗\vec{ca} 都在点p的右侧。

则：计算：ab⃗×ap⃗\vec{ab} \times \vec{ap} >0

同理：bc⃗×bp⃗\vec{bc} \times \vec{bp} >0

ca⃗×cp⃗\vec{ca} \times \vec{cp} >0

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