写在前面

由来： 最近在看王争老师的《数据结构与算法之美》，看到了字符串匹配算法，发现里面门道挺多，光是想搞明白点就花了几天功夫，鉴于我付出的精力，必须好好记录一下。当前，我所说的不一定对，如有错误，欢迎在评论区指正。

范围： 因为目前只看了单模式匹配，所以只说BF，RM，BM，KMP四个算法。

重点： 本文不会说代码实现，而是尽量理清思路，从以下几个方面入手：算法解决了什么问题？大致怎么解决的？为什么可以这么做（具体解法）？

题目背景： 在stringA中找stringB，A为主串，B为模式串，假设主串长度为n，模式串长度为m，n>m。

BF

BF暴力匹配，这个大家都清楚，最简单也是最耗时的

算法过程：

• 先从主串中选出对比串（“对比串”是我自己取的名字，是指以i为起始坐标，取长度m的字符串）
• 将对比串和模式串进行对比
• 出错了就“将i后移1位”获取新的对比串，再从头开始对比

时间复杂度为：单次对比耗时O(m)，最多进行m-n+1次对比，考虑到一般n都很大于m，所以最终复杂度简化为O（mn）。

缺点：“后移一位”后，又得“从头对比”是该算法的缺点，也是接下来优化的重点。

RM

在BF算法中，对比串与模式串的对比时间复杂度为O(m)，相当麻烦，如何快速对比两者呢？

RM算法引入了hash思想解决这一问题（hash思想：不定长的输入得到定长的输出（散列值），两个输入的散列值不同就一定不同，就算散列值相同，输入也不一定相同，需要做额外的确认）。

算法过程：

• 先遍历一次主串，计算各个对比串的hash值
• 然后再遍历主串，比较对比串和模式串的hash值
• hash不一致，就后移一位，操作新的对比串
• hash一致，就进行原值对比

对比环节很简单，算法的关键在于计算hash环节。因为计算一个对比串就可能需要O(m)的时间，不优化算法，RM总的时间复杂度就和BF差不多了。

所以该如何快速的得到随机分布的hash值呢？

这里举个例子，假设主串26572，模式串是657，计算hash的方法如下：

572的hash值为 5×10×10+7×10+2，但我们计算572的hash时，其实可以利用657的计算结果，hash(572)=(hash(657)-6×10×10)×10+2

别看现在两者的计算量相差无几，当模式串一长，这种”递推式“的计算方式的时间复杂度为还能保持在O(1)。因此RM的时间复杂度为O(n)

BM

前面我们说到：后移一位”后，又得“从头对比”是BF算法的两个缺点

BM便引入了两个规则：“坏字符”和“好后缀”，来解决这两个缺点

大致做法为：

• 先从主串中选出对比串
• 将对比串和模式串进行对比（BF时从头部开始对比的，但BM是从尾部开始对比，为什么要这么做后面再说）
• 遇到“坏字符”，就根据“坏字符”规则取得对应的移动数，根据“好后缀”也取得一个数
• 取两个移动数中的大值，移动后选出新的对比串进行对比

看不懂不用急，这算法还挺复杂的，先慢慢看下去

“坏字符”

“坏字符”，顾名思义，便是比对不一致的字符（cd不一致，c便是坏字符）。

BF算法遇到这个问题只能“后移一位”，但其实，根据模式串提供的信息（对比的过程也是收集信息的过程）我们可能可以移动很多步

如上图，假如我们已经知道模式串中不存在c（我称这种字符为“墙字符”），那么我们就可以跳过接下来的两个对比串bca，cac，因为bca的第2位和cac的第1位包含了“墙字符”，对比串必然不成立，只能移动到“墙字符”的右侧，找新的对比串。

这里需要补充一点，无论是BM，还是KMP算法，降低复杂度的重点都在于：根据已有的信息，跳过明显不成立的对比串，实现“多移动几位”的目标。排除的错误答案越多，离终点越近，算法效率就越高。

如果在模式串找到该字符（如果有多个，取最右侧的那个），滑动2格消除“坏字符”。

为什么可以滑动2格呢？

显然，现在对比的是aca[2]和abd[2]，不成立，需要后移对比串（坏字符a的匹配项在abd[0]）

对比串后移一位，坏字符a下标减1，由2变为1， 可cab[1]和abd[1]不同，显然还是不成立

对比串再后移一位，至少abd[0]和abd[0]成立了，虽然在本例中我们直接找到了最终答案，但“坏字符”的主要功能体现在“因为事先知道cab[1]和abd[1]不同，即“坏字符”不匹配，所以直接跳过了cab”

总结一下规律，假设找到“坏字符”时，模式串在对比下标为j的字符，而和“坏字符”的匹配项位于下标k，为了保证至少“坏字符”处能一致，对比串必须后移j-k位

前文中提到了“有多个匹配项，选最右侧字符”，这是为了防止错漏正确答案，可因为选最右侧字符的关系，所以可能会产生倒退，如下图。

“坏字符”c的匹配项的下标甚至大于a的下标，后移-2位导致倒退，因此如果我们一般不单独使用“坏字符”规则。

“好后缀”

在上图中，bc 便是“好后缀”（其本质是：已核对正确的子字符串），好后缀有什么作用呢？

显然，如果有正确答案，答案必然包含“好后缀”，不包含“好后缀”的必然不是答案，因此我们可以通过在好后缀”的左侧寻找“一致项”来实现”移动多步“

需要注意的是：

• “一致项”可以与“好后缀”部分重复，但不能完全重复（完全重复就没意义了，因为现在被坏字符卡住了）
• 这种移动策略其实跟”可匹配的坏字符”有点像，而且因为“好后缀“本身就是后缀，因此不用担心倒退问题。
• 前文种提到对比串和模式串是从后往前对比的，正是为了配合”好后缀“规则

如图，我们找到了”一致项“，并通过“好后缀”规则滑动了3位。

为什么可以滑动3位？模式串中的“一致项”在“好后缀前三位”，因此“对比项”后移了三位，使得对比串中的bc对上了“一致项”

找不到“好后缀”时，可能会产生“过度滑动”的问题：

好在“好后缀“还有第二规则：好后缀的子后缀如果在模式串中存在且为模式串的前缀（上图中bc中的c），也可以进行滑动。

为什么必须是前缀呢？因为如果不是前缀，“一致项”就必然是完整的，但现在找不到完整的，而只有前缀才能允许不完整的一致。实际上就是想法设法利用了部分“好后缀”

两个规则的配合

上文提到了单独使用“坏字符”会产生“倒退”现象，好在我们有两个规则：“坏字符”和“好后缀，将两个规则取到的滑动值中取大值，便彻底实现了这个算法。

KMP

最后是KMP算法，该算法也挺难的，讲起来也颇为麻烦，鉴于网上已有很多资料，我暂时就不说了。

在这里放个8分钟视频链接，该视频在学习过程中给予我很大的帮助，大家可以看看www.bilibili.com/video/BV1AY…

在BM算法中，我们通过“坏字符”和“好后缀”实现了”移动多步“，KMP则是使用了next数组来实现”移动多步“。

问题来了，什么是next数组？next数组是怎么起作用的？next数组又是怎么获得的呢？

根据我自己的学习感受，前两个问题还是很好理解的，主要是获取next数组，乍一看挺简单，不就一个递推式吗？做起来却不容易，大家最好自己去实现一下。