摘要

在这篇论文中，我们考虑了一种新颖的M元顺序假设检验问题，其中存在一个对手，在决策者观察样本之前扰动样本的分布。这个问题被构建成一个顺序对抗假设检验博弈，由决策者和对手之间进行。这个博弈是一个零和博弈和战略博弈。我们假设对手在所有假设下都是活跃的，并且知道观察样本的潜在分布。我们采用这个框架，因为从决策者的角度来看，这是最坏的情况。决策者的目标是最小化停止时间的期望，以确保测试尽可能有效；相反，对手的目标是最大化停止时间。我们推导出了一对策略，在这些策略下，博弈的渐近纳什均衡被实现。我们还考虑了对手不知道潜在假设的情况，因此被限制为在哪种假设生效时应用相同的策略。数值结果证实了我们的理论发现。

I. INTRODUCTION

假设检验是统计学和信息论中的一个基本问题。有许多著作为假设检验的基本限制奠定了坚实的理论基础。在本文中，我们考虑了一种新的情况，即存在一个对手，它故意采取恶意行为，导致决策者实施的顺序检验失败。在这里，我们考虑的是对抗性顺序情况，因为很多时候，收集样本的成本很高，所以决策者应该尽量减少样本数量，以做出准确的决策，而对抗者的目标是尽量增加样本数量。我们将这种新的情况称为对抗性顺序假设检验博弈。

我们考虑这种情况的动机是互联网和通信网络中的恶意攻击，以及现代机器学习算法的安全性和可信性问题。在过去的几十年里，人们对这些问题进行了广泛的研究。互联网网络通常面临着包括网络威胁在内的多种漏洞。网络威胁在网络上的传播可被视为对手的恶意行为。防御者试图通过采取适当的应对措施来减轻威胁。因此，防御网络中的网络威胁可以表述为对手和防御者之间的博弈。此外，众所周知，机器学习算法也极易受到对抗性扰动的影响。例如，在图像分类问题中，可能存在对分类任务性能产生不利影响的对抗样本。对手可能会对不同类别的图像采取不同的攻击策略。在这种情况下，即使在对手的扰动下，学习测试图像的真实类别也非常重要。在这些例子中，当观测样本的分布已知时，我们可以将这一问题置于博弈论框架下，将其表述为决策者与对手之间的假设检验博弈。

II. PRELIMINARIES

A. M-Ary Sequential Hypothesis Testing

对于 n ≥ 1，我们将分布 Pi 和 Pj 的对数似然比定义为

对于一个阈值或边界矩阵B = [ $B_{ij}$ ]，其中 $B_{ij}$ > 0且 $B_{ii}$ = 0，定义基于（M + 1）M/2个单侧SPRTs（顺序假设检验）之间的假设 $H_i$ 和 $H_j$ 的MSPRT $\delta_{M}^{*}=(T_{M}^{*},d_{M}^{*})$ 如下：停止规则是

对于所有检验 $\delta_{M}=(T_{M},d_{M})$ 且所有误差概率的上界均为 $α_{max} ∈ (0, 1)$ ，我们有

$T_{M}^{*}$ 是停止时间

B. Two Player Games

一个双人博弈被定义为一个四元组 (S1, S2, u1, u2)，其中 S1 和 S2 是第一和第二玩家可以选择的策略（行动）的集合，而 ui(s1, s2)（其中 s1 ∈ S1 且 s2 ∈ S2）是当第一玩家选择策略 s1 ∈ S1 而第二玩家选择 s2 ∈ S2 时，对于玩家 i ∈ {1, 2} 的收益（即，利益）。一个策略对 (s1, s2) 被称为一个配置(profile)。在零和博弈中，两个收益之和等于0，即，对于所有 (s1, s2) ∈ S1 × S2，有 u1(s1, s2) + u2(s1, s2) = 0。换句话说，一个玩家的收益等于另一个玩家的损失。我们定义零和博弈的收益函数为 u = u1 = −u2。战略博弈是一个互动模型，在这个模型中，每个玩家在未被告知另一个玩家行动的情况下选择一个行动。我们可以将玩家的行动看作是“同时”进行的。一个常见的目标是获得零和战略博弈的纳什均衡，其定义如下。如果一个配置 $(s^∗_1, s^∗_2)$ 满足以下条件，那么它是一个纳什均衡：

换句话说，如果没有一方可以通过单方面改变策略来增加自己的收益，那么这个profile就是纳什均衡。

PROBLEM FORMULATION

我们给出对手意识情况下 Mary SEQuential 对抗假设检验问题的正式定义。我们将这个问题命名为 MSEQ-AHT $({\mathcal S}_{\mathrm{D}}(\alpha),{\mathcal S}_{\mathrm{A}}(\Delta),u_{\lambda}^{(\alpha)})$ 。

其中， $\lambda=(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{M})$ 是一个具有正元素（权重）的向量，反映了所有 i∈[M] 的预期停止时间 $\mathbb{E}_i[T]$ 的相对重要性。

在 MSEQ-AHT $({\mathcal S}_{\mathrm{D}}(\alpha),{\mathcal S}_{\mathrm{A}}(\Delta),u_{\lambda}^{(\alpha)})$ 的定义中，对手的策略集由满足失真约束条件的所有过渡矩阵组成。决策制定者的策略集由误差概率上界为共同 α 的所有测试组成。报酬是误差概率 αi,i∈ [M] 的误差指数的线性组合，决策制定者追求报酬最大化，以提高检测的准确性和效率（使用最少的样本），而敌方则追求报酬最小化。对于 MSEQ-AHT $({\mathcal S}_{\mathrm{D}}(\alpha),{\mathcal S}_{\mathrm{A}}(\Delta),u_{\lambda}^{(\alpha)})$ ，我们的目标是获得一个配置文件 $(\Phi^{*},\mathbb{A}^{*})$ ，当 $α$ 趋近于零时达到渐进纳什均衡，其形式定义如下

MAIN RESULTS

在阐述有关渐近纳什均衡的主要定理之前，我们首先解释一下 $\Phi^{*}$ 和 $\mathbb{A}^{*})$ 的选择，它们分别作为决策者和对手的拟议策略。我们注意到，∗ 让人联想到复合环境中的霍夫定检验，即我们比较经验分布和生成分布的 KL 发散的最小值与临界值。对于对手的策略，在 (6) 中选择 $A^∗_i$ 背后的直觉是，对手选择 $\mathbb{A}$ 中的扰动矩阵是为了迫使任意两个假设之间的分布尽可能接近。这种接近是用 KL 发散来衡量的，以 "匹配 "决策者的策略

定理一

引理 1：如果 $Y_{1},Y_{2},\ldots,Y_{n}$ 是根据字母表 $\mathcal{X}$ 上的分布 $\mathcal{Q}$ 独立同分布生成的，那么对于任意 $\epsilon>0$ ，我们有

引理2

引理3

引理 4：对于所有的 $i\in[M]$ ，当 $\alpha\downarrow0.$ 时，满足由 $\tilde{\mathbf{A}}_i\in\mathcal{A}_i$ 索引的实数集合 $\{\frac{\mathbb{E}_{i}[T^{*}]}{\log(1/\alpha)}\}_{0<\alpha\leq1}$ 一致收敛于 $(\min_{j\neq i}\min_{\mathbf{A}_j\in\mathcal{A}_j}D(P_i\tilde{\mathbf{A}_i}\|P_j\mathbf{A}_j))$ 。

将上述三部分结合起来，就完成了定理 1 的证明

V. RESULTS ON THE ADVERSARY NON-AWARENESS SETTING

在本节中，我们将考虑对手不知道观测样本基本分布的情况。在这种情况下，参照图 1，对手只能对所有假设应用共同的扰动机制 A。

我们将 $i\in[M]$ 时 $H_i$ 条件下的停止时间期望定义为 $\mathbb{E}_i[\tau]$ ，（非感知）测试是一对 $\Phi_{\mathrm{NA}}=$ $(\tau,\delta_\mathrm{NA})$ （其中 NA 代表非感知）。我们还将对手和决策者的策略集分别定义为