Python 实战人工智能数学基础：强化学习应用

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50 阅读8分钟

1.背景介绍

强化学习（Reinforcement Learning，RL）是机器学习中的一种基于环境（environment）与动作（action）的交互方式。在这种方法中，智能体（Agent）通过不断地与环境进行交互来学习到环境中可能存在的最佳策略。与其他机器学习方法相比，强化学习的特点就是能够从各种复杂、模糊、不完全的情景中学习到解决问题的最优策略，并且能够利用学习到的知识快速有效地解决新的问题。强化学习以其“试错”的原则驱动，也就是说，它强调通过尝试新事物来学习知识。随着深度学习的发展，强化学习也越来越火爆，因为其在许多领域都得到了广泛的应用。目前，基于深度学习的强化学习已经可以胜任一些复杂任务的自动化运维、智能化决策等，但对初学者来说，掌握强化学习相关的数学基础还是非常重要的。本文将会通过一个小实例，带领读者理解并掌握强化学习中的核心概念、基本算法和模型实现。

2.核心概念与联系

首先，让我们回顾一下强化学习中的两个主要术语——状态（State）和动作（Action）。状态描述智能体所处的当前情况，例如智能体当前的位置、速度、目标位置等；而动作则描述如何影响状态，使得智能体在下一步获得更多的奖励或遭遇更大的损失。因此，状态和动作是强化学习的基本要素，也是强化学习算法中最重要的输入输出。

其次，我们需要了解关于“强化学习”的一些名词术语：

  • Agent: 智能体，能够采取行动并在环境中进行反馈。
  • Environment: 外部世界，智能体生活和工作的环境。
  • Reward function: 奖赏函数，给予智能体每一次执行动作的奖励值。
  • Policy (or strategy): 策略，给定状态下，智能体应该采取的动作分布。
  • Value function: 价值函数，描述在特定状态下，智能体对不同动作的期望收益或风险。
  • Model: 模型，用来近似环境的动态规划。
    以上这些术语是强化学习中最关键的概念，它们共同作用构建起了强化学习的整个框架。由于篇幅原因，我们这里只介绍几个核心概念，你可以在阅读完这章节之后再回过头来详细了解这些概念。

最后，强化学习模型有两种类型，即基于模型的强化学习和基于经验的强化学习。基于模型的强化学习借助于已知的模型，计算出在当前状态下每个动作的预期收益；而基于经验的强化学习则直接根据历史数据来学习到环境、智能体、奖赏和状态转移方程，不需要建模，从而可以更好地适应不同的任务。在本文中，我们将会采用基于经验的强化学习模型。

3.核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解

（1）算法流程图

（2）代码实现

初始化环境

我们先初始化一个环境（这里假设是简易版的冰冻湖），其中的state包括湖里的雪、水、金币数量及智能体的位置。然后定义一个reward_function，表示当智能体触碰金币时获得的奖励。如下面的代码所示：

import numpy as np


class IceHockey():
    def __init__(self):
        # 雪、水、金币数量及智能体的位置
        self.state = [7, 9, 1, 2]

    def reward(self, action):
        if action == 'hit':
            return -1
        else:
            return 0

执行策略

我们定义一个policy（策略），表示在当前状态下，智能体应该采取的动作。这里我们假设在此游戏中，我们有两种策略，分别是‘stand’和‘hit’，意思是站立和撞击，两者的概率由智能体根据状态自主决定。我们用一个dictionary来记录各个状态下的动作概率，如下面的代码所示：

class IceHockey():
    def policy(self):
        if self.state[2] > 0 and np.random.rand() < 0.5:
            return {'stand': 0.5, 'hit': 0.5}
        elif self.state[2] > 0:
            return {'stand': 0., 'hit': 1.}
        else:
            return {'stand': 1., 'hit': 0.}

更新策略

接下来，我们更新策略，也就是给出下一状态和相应的action。在此示例中，我们用蒙特卡洛树搜索（Monte Carlo Tree Search，MCTS）来更新策略。首先，选中一个叶子结点，得到其对应的状态和动作；然后从这个叶子结点往上一直到根节点，依次按照游戏规则生成所有中间状态和对应的奖励；然后选中该中间状态的一个父结点，重复步骤1、2，直到找到根节点为止。最后，更新根节点下各个动作的概率。如此，我们就更新到了新的策略。如下面的代码所示：

from collections import defaultdict
from math import sqrt
import random

class Node():
    def __init__(self, state=None, parent=None):
        self.parent = parent
        self.children = []
        self.n = 0
        self.w = 0

        self.state = None
        if state is not None:
            self.expand(state)
    
    def expand(self, state):
        for action in ['stand', 'hit']:
            child = Node((action, *state), self)
            self.children.append(child)
        
        self.state = ('terminal', )
        
    def update(self, reward):
        self.n += 1
        self.w += reward
        
    def select(self):
        total_n = sum([c.n for c in self.children])
        prob_dict = {}
        for c in self.children:
            exploitation_term = c.w / float(max(1, c.n))
            exploration_term = sqrt(2 * log(total_n) / float(max(1, c.n)))
            prob_dict[c] = exploitation_term + exploration_term
            
        max_node = max(prob_dict, key=lambda x: prob_dict[x])
        children_visits = [(c.n, c) for c in self.children]
        unvisited_nodes = sorted([c for c in self.children if c.n == 0], key=lambda x: len(x.parent.state))
        order = [max_node] + [children_visits[idx][1] for idx in range(len(unvisited_nodes))]
        nodes_to_visit = order[:min(len(order), 10)] + unvisited_nodes[:min(len(unvisited_nodes), 10 - len(order))]
        random.shuffle(nodes_to_visit)
        
        return nodes_to_visit[-1].select(), nodes_to_visit[-1].state
    
    
class MCTS():
    def __init__(self, root):
        self.root = root
        
    def run(self, num_simulations):
        leafs = [self.root]
        while True:
            new_leafs = []
            for l in leafs:
                next_states = self.generate_next_states(l.state)
                for ns in next_states:
                    if all([(ns!= n).all() for n in [c.state for c in l.children]]):
                        node = Node(ns, l)
                        new_leafs.append(node)
                        
                        score = self.evaluate(ns)[1]['hit']
                        if score == 1.:
                            print('Game Over.')
                            return l.parent
            
            if not new_leafs:
                break
                
            leafs = new_leafs
            
        current_node = self.root
        best_actions = self.best_actions(current_node)
        path = [('terminal', )]
        
        for i in range(num_simulations):
            selected_node, selected_action = current_node.select()
            path.append(selected_action)
            
            current_node = selected_node
            best_actions = self.best_actions(current_node)
        
        self.update_policy(path, best_actions)
        
    def generate_next_states(self, state):
        actions = list(['stand', 'hit'])
        states = list([(*state[:-1], a) for a in actions])
        rewards = [IceHockey().reward(a) for a in actions]
        next_states = [np.array(list((*s[:-1], int(s[-1]+r)))) for s, r in zip(states, rewards)]
        return next_states
    
    
    def evaluate(self, state):
        score = min(1., state[0]/float(state[1]))
        terminal = False
        
        return score, {'hit': 1.*score}, terminal
    
    def best_actions(self, node):
        best_actions = []
        max_value = float('-inf')
        for c in node.children:
            value = c.w / float(max(1, c.n))
            if value >= max_value:
                max_value = value
                best_actions = [c.state[0]]
            elif value == max_value:
                best_actions.append(c.state[0])
        
        return tuple(best_actions)
    
    def update_policy(self, path, best_actions):
        polices = {}
        for t, p in enumerate(reversed(path)):
            if isinstance(p, str):
                continue
            actions = set([k for k, v in polices.items()])
            actions.add(tuple(sorted(list(actions)+[p])))
            values = dict([(a, []) for a in actions])
            for node in reversed(path[:t]):
                if node.parent is None or isinstance(node.state, str):
                    continue
                    
                action = node.state[0]
                value = node.w / float(node.n)
                values[tuple(sorted(list(values.keys())+[[*node.state[1:], action]])), ] += [[value]*node.n, ]
            
            polices = {k:sum([v[i][j] for j in range(node.n)])/float(node.n) for k, v in values.items()}
        
        max_police = max(polices.values())
        final_policies = [{'stand': 1.-max_police, 'hit': max_police}]
        for a in best_actions:
            final_policies[0][a] *=.9
            final_policies[0][*[b for b in final_policies[0] if b!= a]][0] *=.1
        
        return final_policies
    
if __name__ == '__main__':
    icehockey = IceHockey()
    mcts = MCTS(Node())
    mcts.run(100)

（3）数学模型公式详细讲解

（1）蒙特卡洛树搜索（MCTS）

蒙特卡洛树搜索（Monte Carlo Tree Search，MCTS）是强化学习的一个类算法，用于解决博弈问题。它与蒙特卡罗方法密切相关，是一种通过随机模拟来评估策略的一种方法。与传统的模拟退火、模拟退化、遗传算法等不同，蒙特卡洛树搜索基于树形结构，同时考虑了当前局面和候选局面之间的紧密联系，这是一种递归的方式，而不是迭代的方法。因此，树搜索是一个全面、通用的方法。

MCTS算法是在Monte-Carlo方法上演化而来的，它的基本想法是采用采样去模拟可能的结果。其过程如下：

  1. 从根结点开始，每次选择一个状态进行扩展，直到达到最大搜索层次或到达一个终止状态。
  2. 在每个状态上，执行一系列的随机行动，从而得到结果状态。
  3. 对于每个状态，进行rollout，也就是执行一系列的随机行动直到到达终止状态，并在这个过程中对结果进行评估。
  4. 对选定的状态进行back propagation，在每个状态上的回报累计起来，并平均分配到所有父节点上。
  5. 返回到上一级结点，重复第2步。

在每个状态上进行rollout，意味着在这个状态上使用随机行动，直到达到终止状态，并对结果进行评估。回报的计算可以通过一套策略来计算，比如常用的基于深度学习的策略。MCTS的方法可以应用于很多问题，其中包括零和博弈、博弈论、推荐系统、机器翻译、机器人控制等。

（2）贝尔曼方程

贝尔曼方程是强化学习的一个基本数学模型。它的主要思想是把对环境变量的影响分解成状态变量和动作变量之间的影响。在强化学习中，状态变量用来描述智能体所在的位置、速度、目标位置等信息，而动作变量则用来描述智能体执行的动作。我们假设状态变量s⃗\vec{s}是一个dd维向量，动作变量a⃗\vec{a}是一个mm维向量。定义状态转移矩阵P(s⃗→s′⃗,a⃗)P(\vec{s}\rightarrow\vec{s'}, \vec{a})，表示从状态s⃗\vec{s}执行动作a⃗\vec{a}后到达状态s′⃗\vec{s'}的概率。引入价值函数Vπ(s⃗)=Ea⃗∼π(a⃗∣s⃗)[∑t=0∞γtR(s⃗,a⃗,s⃗′)]V^\pi (\vec{s})=\mathbb{E}_{\vec{a}\sim \pi(\vec{a}|\vec{s})} [\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^t R(\vec{s},\vec{a},\vec{s}')]，表示在策略π(a⃗∣s⃗)\pi(\vec{a}|\vec{s})下，从状态s⃗\vec{s}得到的期望回报。其中，γ\gamma是折扣因子，用来衰减长远的奖励，使得短期的奖励更加重要。贝尔曼方程可以写成：

Qπ(s⃗,a⃗)=R(s⃗,a⃗,s′⃗)+γVπ(s′⃗),Q^\pi(\vec{s},\vec{a})=R(\vec{s},\vec{a},\vec{s'})+\gamma V^\pi(\vec{s'}),

其中，Qπ(s⃗,a⃗)Q^\pi(\vec{s},\vec{a})是状态s⃗\vec{s}下执行动作a⃗\vec{a}得到的期望回报。

利用贝尔曼方程，可以计算策略梯度，即在当前状态s⃗\vec{s}下，选择动作a⃗\vec{a}的期望回报对价值函数的偏导：

∇θQπ(s⃗,a⃗)=∂∂θ(R(s⃗,a⃗,s′⃗)+γVπ(s′⃗))\nabla_{\theta} Q^\pi(\vec{s},\vec{a}) = \frac{\partial}{\partial \theta} \bigg( R(\vec{s},\vec{a},\vec{s'})+\gamma V^{\pi}(\vec{s'})\bigg)

其中，θ\theta代表模型参数，在强化学习中一般是一个神经网络的参数。利用求导的链式法则，可以求出策略梯度。

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