标准差是度量数据集离散度的一个重要指标，但是，本篇讨论的不是标准差的作用和意义，
而是标准差计算中的一个细节问题。

实际情况下，一般会接触到两种标准差：总体标准差和样本标准差，其中样本标准差是最常用的。

1. 总体标准差

总体标准差的计算公式：$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}$
其中，$N$是总的数据个数，$x_i$表示每个数据，
$\mu$是所有数据的平均值，即：$\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i$

从公式来看，总体标准差很好理解，目的就是度量数据集中的数据偏离平均值的情况。

2. 样本标准差

再来看样本标准差公式：$s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2}$
其中，$N$是样本集的数据个数，$x_i$表示每个样本数据，
$\bar{x}$是样本数据的平均值，即：$\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i$

从公式可以看出，样本标准差计算时，用的$\frac{1}{N-1}$，而不是$\frac{1}{N }$。

3. 为什么除以 (N-1)

为了区分总体标准差中的数据个数，下面用$N_{all}$表示总体标准差中的数据个数，
用$N_{samples}$表示样本标准差中的数据个数。

实际的数据分析中，常用的分析指标是样本标准差，总体标准差用的很少。
因为，总体数据量往往很庞大，而且新的数据不断产生，导致所谓的总体数据也不断变化。
比如，对于民意调查结果，新闻内容，天气数据，股市交易等等，都是抽样做分析。

既然是抽样分析，那么，计算样本标准差时，是得不到整体数据的平均值 $\mu$的。
所以在样本标准差的计算公式中，我们用的是样本的平均值 $\bar{x}$，而不是整体的平均值 $\mu$。

直观上来看，样本的平均值 $\bar{x}$会要比整体的平均值 $\mu$更接近样本数据集中的数据,
所以，理论上$\sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \bar{x})^2$要比 $\sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \mu)^2$的值小一些。
因此， $\frac{1}{N_{samples}}\sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \bar{x})^2$也比 $\frac{1}{N_{samples}}\sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \mu)^2$的值要小。

为了调整这个偏差，让样本标准差能够更接近总体的标准差，
样本标准差公式中除以 $N_{samples}-1$而不是 $N_{samples}$，
相当于调高了样本标准差的值，使之更接近**总体的标准差 **。

4. 补充

通过（$N_{samples}-1$）调节样本标准差的过程也被称作贝塞尔校正（Bessel's correction），
它的数学推导过程可以参考：贝塞尔校正