负数如何取模？偶然发现一个有意思的问题：负数如何取模？乍一看：这不是很简单？但仔细一想，我觉得很简单的只是正数准确

偶然发现一个有意思的问题：负数如何取模？

乍一看：这不是很简单？

但仔细一想，我觉得很简单的只是正数准确的说是正整数的取模。

也就是 7 % 3 = 1

那 (-7) % 3 和 7 % (-3) 以及 (-7) % (-3) 呢？

仔细一想，不会！

经过一番摸索之后发现：

In mathematics, the result of the modulo operation is an equivalence class, and any member of the class may be chosen as representative; however, the usual representative is the least positive residue, the smallest non-negative integer that belongs to that class (i.e., the remainder of the Euclidean division). However, other conventions are possible. Computers and calculators have various ways of storing and representing numbers; thus their definition of the modulo operation depends on the programming language or the underlying hardware.

what?

也就是说，模的取值还不止一种可能，一般是最小的正余数。

在几乎所有的编程语言中， $a \div n$ 的商 $q$ 和余数 $r$ 满足如下定义：

q \in Z,

a = nq + r,

|r| < |n|

其中， $Z$ 是整数集合。

发现了吗？这个定义是有歧义的：

如果余数为 0，自然皆大欢喜
如果余数非 0，那么就有两种选择，正余数和负余数

这在被除数和除数都是正数时还不明显，一般没有人会强行将 $7 \div 3 = 3.. -2$ 的吧？

其实余数的关键在于商的选取，对于商 $q$ 的选取，不同的编程语言实现不一致，主要有以下几种：

floored division，就是商采用向下取整，趋负无穷截尾

q = \left \lfloor \frac{a}{n} \right \rfloor

其中， $\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor$ 表示向下取整，因此

r = a - n \left \lfloor \frac{a}{n} \right \rfloor

余数符号与除数 $n$ 相同

truncated division，就是商尽可能的靠近 0，因此又称截断取整

q = trunc(\frac{a}{n})

其中， $trunc$ 是截断函数。因此，

r = a - n \space trunc(\frac{a}{n})

余数符号与被除数 $a$ 相同。

Euclidean division，就是欧几里得除法

q = sgn(n)\left \lfloor \frac{a}{|n|} \right \rfloor = \begin{cases} \left \lfloor \frac{a}{n} \right \rfloor, & \text{if } n > 0 \\ \left \lceil \frac{a}{n} \right \rceil, & \text{if } n < 0 \end{cases}

其中， $\left \lceil \frac{c}{d} \right \rceil$ 是向上取整 $sgn$ 是取符号函数，因此， $r \ge 0$

r = a - |n| \space \left \lfloor \frac{a}{|n|} \right \rfloor

其他的像 rounded division（四舍五入）和 ceiling division （向上取整）可以在这里了解

比如在 Rust 中，对于 % 就是采用的 truncated division

因此，在 Rust 中，

(-7) % 3 就是 $(-7) - 3 \times trunc(\frac{-7}{3}) = -1$ ，

7 % (-3) 就是 $7 - (-3) \times trunc(\frac{7}{-3}) = 1$

当然，在 Rust 中，也有 Euclidean division 的求模方法：rem_euclid()

(-7i32).rem_euclid(3) 就是 $(-7) - 3 \times \left \lfloor \frac{-7}{3} \right \rfloor = 2$

7i32.rem_euclid(-3) 就是 $7 - |-3| \times \left \lfloor \frac{7}{|-3|} \right \rfloor = 1$

在 JavaScript 中，则只有 % 一种求模方法，跟 C++ 一样是 truncated division

在 Haskell 中， mod 是采用 floored division

(-7) `mod` 3   --  2
7 `mod` (-3)   --  -2

rem是采用 truncated division

(-7) `rem` 3   --  -1
7 `rem` (-3)   --  1

总结

主流编程语言中，除法主要有三种方式取余数，floored division，truncated division 以及 Euclidean division。不同的实现方式可能会产生不同的结果，在进行负数的模运算时尤其要注意。