307. 区域和检索 | 树状数组总共有两个方法要实现：单点更新和区间求和，这正好符合树状数组的基本功能，因此这是一道树

题目描述：

给你一个数组 nums ，请你完成两类查询。

其中一类查询要求更新数组 nums 下标对应的值

另一类查询要求返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（包含）的nums元素的和，其中 left <= right

实现 NumArray 类：

NumArray(int[] nums) 用整数数组 nums 初始化对象

void update(int index, int val) 将 nums[index] 的值更新为 val

int sumRange(int left, int right) 返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（包含）的nums元素的和（即，nums[left] + nums[left + 1], ..., nums[right]）

根据题目的意思，总共有两个方法要实现：单点更新和区间求和，这正好符合树状数组的基本功能，因此这是一道树状数组的裸题，那我们正好可以在这复习一下树状数组的知识。

显然，对于普通数组来说，单点更新的时间复杂度是 $O(1)$ ，而区间求和的时间复杂度是 $O(n)$ 。如果我们想要加快对区间求和的速度，那一个很传统的做法就是求前缀和 $sum$ ，此时区间 $[i, j]$ 的和就是 $sum_j-sum_{i-1}$ 。这样子区间求和的时间复杂度确实降到了 $O(1)$ ，但由于单点更新时要同步更新所有该点之和的前缀和，因此单点更新的时间复杂度又变成了 $O(n)$ 。

这时候，想必聪明的你已经在考虑，是否有一种折中的方案，能够让单点更新和区间求和都不要太慢，比如都在 $O(logn)$ 的样子呢？

按照这样的思路，我们可以把数组分成一个个块，假设每块的大小为 $size$ ，那么长度为 $n$ 的数组就可以分成 $\lfloor {n \over size} \rfloor$ 个大小相同的块。之后，我们在单点更新时，只需要更新对应的数组块，而区间查询，也最多遍历两个块即可，确实达到了我们的预期。经过计算推导可以得出，当 $size=\sqrt n$ 时，复杂度最优，此时单点更新时间复杂度是 $O(1)$ ，区间查询的时间复杂度是 $O(\sqrt n)$ 。

这样的解法显然有些 “naive” 了，是否有更优的解法呢？答案是肯定的，这时就轮到大名鼎鼎的树状数组登场了！具体思路是用一个数组 $C$ 维护若干个小区间，单点修改时，只更新包含这一元素的区间；求前n项和时，通过将区间进行组合，得到从 1 到 n 的区间，然后对所有用到的区间求和。

如何确定 $C_i$ 的范围呢？树状数组巧妙利用了二进制，用 $C_i$ 维护区间 $(A_i-lowbit(A_i),A_i]$ 。例如 $C_{11}$ 维护 $(A_{10},A_{11}]$ ， $C_{10}$ 维护 $(A_8,A_{10}]$ 。这样子划分后，查询前 n 项和时需要合并的区间数是少于 $logn$ 的。

那如何进行更新操作呢？ 其实这是一个从叶子结点爬到根节点的过程。按照一开始的想法，当更新 $A_i$ 时，只需要更新包含了 $A_i$ 的 $C_j$ 即可。以 $A_3$ 为例，如图所示，包含了 $A_3$ 的区间和包括 $C_3$ 、 $C_4$ 、 $C_8$ ，因此只需要更新这三个即可。

爬树的过程是如何计算的？ 对于当前所在位置 $i$ ，只需要不断加上 $lowbit(i)$ 即可。例如初始 $i=3$ ，然后是 $3+lowbit(3)=4$ ，然后是 $4+lowbit(4)=8$ ......

至此我们就可以简单实现一个树状数组了。

class NumArray {
    private int[] nums;
    private int[] tree;

    public NumArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        this.nums = new int[n];
        tree = new int[n + 1];
        // 初始化树状数组
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            update(i, nums[i]);
        }
    }
    
    public void update(int index, int val) {
        int delta = val - nums[index];
        nums[index] = val;
        // 从index一路往上更新
        for(int i = index + 1; i < tree.length; i += i & -i) {
            tree[i] += delta;
        }
    }
    
    private int prefixSum(int index) {
        int sum = 0;
        // 从index一路往下求和
        for(int i = index; i > 0; i -= i & -i) {
            sum += tree[i];
        }
        return sum;
    }

    public int sumRange(int left, int right) {
        return prefixSum(right + 1) - prefixSum(left);
    }
}

/**
 * Your NumArray object will be instantiated and called as such:
 * NumArray obj = new NumArray(nums);
 * obj.update(index,val);
 * int param_2 = obj.sumRange(left,right);
 */

$lowbit$ 的作用

从正文中可以看出， $lowbit$ 是树状数组实现的一个关键，那 $lowbit$ 是什么，为啥这么有用呢？

$lowbit(x)$ 计算得到的是 $x$ 的二进制表示中，最后一个 $1$ 的位置，例如 $lowbit(1011)=1$ ， $lowbit(1100)=100$ 等。

$lowbit$ 的计算公式很简单： $lowbit(x)=x\&-x$ 。原理是在计算机中，负数用补码表示，即原码取反加一。因此 x 和 -x 仅从右往左第一个 ‘1’ 的位置是相同的。如下图：

参考：算法学习笔记(2) : 树状数组 - 知乎 (zhihu.com)

307. 区域和检索 | 树状数组

lowbitlowbitlowbit的作用

$lowbit$ 的作用