算法学习记录--树状数组（单点修改，区间查询）Day01

树状数组用来求区间和以及单点修改也是非常高效的一种数据结构。单单实现这两个功能时，树状数组要比线段树方便快捷，代码也简单一些。它在原数组上添加索引，从而高效维护数据。时间复杂度为O(logn)，树状数组下标必须从1开始，并且它是分层维护数据的（实际上是一维的，方便理解就画成树形），如下图：

• 分层是通过lowbit(x)函数实现的，它返回的是$2^{x的2进制末尾0的个数}$。也是树状数组的层数

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

• 对某一点加一个数

void add(int x, int v)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i] += v;
}

• 某一点变成另外一个数

void add(int x, int v)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i] += v - tr[i];
    //tr[i] = tr[i] - tr[i] + v; 
}

• 求前缀和

int sum(int x)
{
    int ans = 0;
    for(int i=x;i!=0;i-=lowbit(i)) ans += tr[i];
    return ans;
}

下面是例题

P3374 【模板】树状数组 1

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int  N = 1e6 + 5;
int n,m;
int tr[N],a[N];

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int x,int v)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i] += v;
}
int query(int x)
{
    int res = 0;
    for(int i=x;i!=0;i-=lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}
int main()
{

    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) add(i,a[i]);
    while(m--)
    {
        int k,x,y;
        cin>>k>>x>>y;
        if(k==1) add(x,y);
        else cout<<query(y) - query(x-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

1265. 数星星

这道题因为星星的纵坐标是依次递增的，我们找的时候只找左下边，无需处理纵坐标，只要统计出每个横坐标有多少星星即可。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 150010;
int n;
int level[N],tr[N];//level每一级有几颗星星

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void add(int x)
{
    for(int i=x;i<=32005;i+=lowbit(i)) tr[i] ++;
}

int sum(int x)//横坐标为x的星星总数
{
    int ans = 0;
    for(int i=x;i!=0;i-=lowbit(i)) ans += tr[i];
    return ans;
}

int main()
{

    cin>>n;
    int x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x>>y;
        x++;//防止x为0
        int k = sum(x);
        level[k]++;
        add(x);
    }
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<level[i]<<endl;
    return 0;
}