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最短路径问题
典型用途
交通网络的问题——从甲地到乙地之间是否有公路连通？在有多条通路的情况下，哪一条路最短？
交通网络用有向图来表示：
顶点——表示地点，
弧——表示两个地点有路连通，
弧上的权值——表示两地点之间的距离、交通费或图中所花费的时间等。
如何能够使一个地点到另一个地点的运输时间最短或运费最省？这就是一个求两个地点间的最短路径的问题。
问题抽象
在有向网中A点（源点）到达B点（终点）的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。
最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点，也不一定包含n-1条边。
引出问题
第一类问题：两点间最短路径
用Dijkstra（迪杰斯特拉）算法。
第二类问题：某源点到其他各点最短路径
用Floyd（弗洛伊德）算法。
Dijistra算法
（1）初始化：先找出从源点v0到各终点vk的直达路径（v0, vk），即通过一条弧到达的路径。
（2）选择：从这些路径中找出一条长度最短的路径（v0, u）。
（3）更新：然后对其余各条路径进行适当调整：
若在图中存在弧(u, vk)，且(v0, u) + (u, vk) < (v0, vk)，则以路径(v0, u, vk)代替(v0, vk)。
在调整后的各条路径中，再找长度最短的路径，以此类推。
void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0)
{ // 用Dijkstra算法求有向网G的vO顶点到其余顶点的最短路径
n=G.vexnum; // n为G 中顶点的个数
for(v= O;v<n; ++v) // n个顶点依次初始化
{
S[v]=false; // S初始为空集
D[v]=G.arcs[v0][v]; // 将v0到各个终点的最短路径长度初始化为弧上的权值
if(D[v]<Maxlnt) Path[v]=vO; // 如果v0和v之间有弧， 则将v的前驱置为v0
else Path[v]=-1; // 如果v0 和v之间无弧， 则将v的前驱置为-1
}
S[v0] = true; // 将v0加人 S
D[v0]=0; // 源点到源点的距离为 0
/*--------初始化结束， 开始主循环， 每次求得vO到某个顶点v的最短路径， 将v加到s集－－－－*/
for(i=1;i<n;++i) // 对其余 n-1个顶点，依次进行计算
{
min=MaxInt;
for(w= O;w<n;++w)
if(!S[w]&&D[w]<min)
{v=w;min=D[w];} // 选择一条当前的最短路径，终点为v
S[v]=true; // 将v加入S
for(w=0;w<n;++w) // 更新从v0出发到集合V-S上所有顶点的最短路径长度
if(!S[w]&&(D[v]+G.arcs[v][w]<D[w]))
{
D[w]=D[v]+G.arcs[v][w]; // 更新D[w]
Path[w]=v; // 更改w的前驱为v
}
}
}
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述
按路径长度递增次序产生最短路径
1.把V分成两组：
（1）S：已求出最短路径的顶点的集合。
（2）T=V-S：尚未确定最短路径的顶点集合。
2.将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点v0到S中各顶点的最短路径长度都不大于从v0到T中任何顶点的最短路径长度。
（2）每个顶点对应一个距离值：
S中顶点：从v0到此顶点的最短路径长度。
T中顶点：从v0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度。
算法步骤
初始时令S={v0}，T={其余顶点}。
实例
弗洛伊德（Floyd）算法
初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<vi, vj>，则对应元素为权值；否则为∞。
逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间顶点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。所有顶点试探完毕，算法结束。
void ShortestPath_Floyd(AMGraph G)
{ //用Floyd算法求有向网G中各对顶点i和j之间的最短路径
for (i=O; i < G.vexnum; ++i) // 各对结点之间初始已知路径及距离
for(j=O;j <G.vexnum;++j)
{
D[i][j] =G.arcs [i][j];
if(D[i][j]<Maxint) Path[i][j]=i; //如果 i和j 之间有弧，则将j的前驱置为i.
else Path[i][j]=-1; // 如果 i和j 之间无弧，则将j的前驱置为-1
}
for (k=O; k < G.vexnum; ++k)
for (i=O; i <G.vexnum;++i)
for(j=O;j <G.vexnum;++j)
if(D[i][k]+D[k][j] <D[i][j]) // 从i经k到j的一条路径更短
{
D[i][j]=D[i][k]+D[k][j]; // 更新D[i][j]
Path[i][j]=Path[k][j]; // 更改j的前驱为k
}
}
算法思想
- 逐个顶点试探；
- 从vi到vj的所有可能存在的路径中；
- 选出一条长度最短的路径。
