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概念
生成树
所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图。
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一个图可以有许多棵不同的生成树；
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所有生成树具有以下共同特点；
- 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同；
- 生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通。
- 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边；
- 在生成树中再加一条边必然形成回路。
- 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的；
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含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树。
无向图的生成树
设图G = (V, E)是个连通图，当从图任一顶点出发遍历图G时，将边集E(G)分成两个集合T(G)和B(G)。其中T(G)是遍历图时所经过的边的集合，B(G)是遍历图时未经过的边的集合。显然，G1(V, T)是图G的极小连通子图。即子图G1是连通图G的生成树。
最小生成树
给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权值之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。
最小生成树的典型用途
- 欲在n个城市间建立通信网，则n个城市应铺n-1条线路；
- 但因为每条线路都会有对应的经济成本，而n个城市最多有n(n-1)/2条线路，那么，如何选择n-1条线路，使总费用最少？
数学模型（显然此连通网是一个生成树！）：
顶点——表示城市，有n个；
边——表示线路，有n-1条；
边的权值——表示线路的经济代价；
连通网——表示n个城市间通信网。
最小生成树的构造
构造最小生成树的算法很多，其中多数算法都利用了MST的性质。
最小生成树可能不唯一。
MST性质
设N = (V, E)是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若边（u, v）是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一棵包含边（u, v）的最小生成树。
MST性质解释
在生成树的构造过程中，图中n个顶点分属两个集合：
① 已落在生成树上的顶点集：U
② 尚未落在生成树上的顶点集：V-U
接下来则应在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。
普里姆（Prim）算法
算法思想：
- 设N = (V, E) 是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。
- 初始令U = {u0}，(u0∈V)，TE={}。
- 在所有u∈U，v∈V-U的边{u, v}∈ E中，找一条代价最小的边(u0, v0)。
- 将(u0, v0)并入集合TE，同时v0并入U。
- 重复上述操作直至U=V为止，则T=(V, TE)为N的最小生成树。
// 辅助数组的定义，用来记录从顶点集 u到v-u 的权值最小的边
struct
{
VerTexType adjvex; // 最小边在U中的那个顶点
ArcType lowcost; // 最小边上的权值
} closedge[MVNum];
void MiniSpanTree_Prim(AMGraph G,VerTexType u)
{ // 无向网G以邻接矩阵形式存储， 从顶点u出发构造G的最小生成树T, 输出T的各条边
k=LocateVex(G,u); // k 为顶点 u 的下标
for(j=O;j<G.vexnum;++j) //对v-U 的每一个顶点 V~j~, 初始化 closedge[j]
if(j!=k) closedge[j]={u,G.arcs[k][j]}; //{adjvex, lowcost}
closedge[k].lowcost=O; //初始， U={u}
for(i=1;i<G.vexnum;++i)
{ // 选择其余 n-1 个顶点，生成 n-1 条边(n=G.vexnum)
k=Min(closedge);
// 求出 T 的下一个结点：第 K 个顶点， closedge[k]中存有当前最小边
u0=closedge[k].adjvex; // u0 为最小边的一个顶点，u0∈U
v0=G.vexs[k]; // v0 为最小边的另一个顶点， v∈V-U
cout<<u0<<v0; // 输出当前的最小边(u0, v0)
closedge[k].lowcost=O; // 第k个顶点并入u集
for(j=O;j<G.vexnum;++j)
if(G.arcs[k][j]<closedge[j].lowcost) //新顶点并入u 后重新选择最小边
closedge [j]={G.vexs[k] ,G.arcs[k][j]};
}
}
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
算法思想：
- 设连通网N = (V, E)，令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V, {})，每个顶点自成一个连通分量。
- 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上（即：不能形成环），则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边。
- 以此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
// 辅助数组Edges 的定义
struct
{
VerTexType Head; // 边的始点
VerTexType Tail; // 边的终点
ArcType lowcost; // 边上的权值
} Edge[arcnum] ;
void MiniSpanTree_ Kruskal(AMGraph G)
{ //无向网G以邻接矩阵形式存储，构造G的最小生成树T, 输出T的各条边
Sort (Edge); // 将数组 Edge 中的元素按权值从小到大排序
for(i=O;i<G.vexnum;++i) // 辅助数组，表示各顶点自成一个连通分量
Vexset[i]=i;
for(i=O;i<G.arcnum;++i) // 依次查看数组 Edge 中的边
{
v1=LocateVex(G,Edge[i].Head); // v1 为边的始点 Head 的下标
v2=LocateVex(G,Edge[i].Tail); // v2 为边的终点 Tail 的下标
vs1=Vexset[v1]; // 获取边 Edge[i]的始点所在的连通分量 vs1
vs2=Vexset[v2]; // 获取边 Edge[i]的终点所在的连通分量 vs2
if(vs1!=vs2) // 边的两个顶点分属不同的连通分量
{
cout<<Edge[i].Head<<Edge[i].Tail; //输出此边
for(j=O;j<G.vexnurn;++j) //合并 VS1 和 VS2 两个分量， 即两个集合统一编号
if(Vexset[j] ==vs2) Vexset[j] =vs1; //集合编号为 vs2 的都改为 vs1
}
}
}
两种算法比较
| 算法名 | 普里姆算法 | 克鲁斯卡尔算法 |
|---|---|---|
| 算法思想 | 选择点 | 选择边 |
| 时间复杂度 | O(n2)（n为顶点数） | O(eloge)（e为边数） |
| 适应范围 | 稠密图 | 稀疏图 |
