卡特兰数-动态规划

卡特兰数（Catalan numbers）是组合数学中的一种数列，以比利时数学家Eugène Charles Catalan的名字命名。卡特兰数出现在各种计数问题中，通常涉及括号的组合，路径计数，树结构等。

卡特兰数序列的前几项如下：

1. C(0) = 1
2. C(1) = 1
3. C(2) = 2
4. C(3) = 5
5. C(4) = 14
6. C(5) = 42
7. C(6) = 132
8. C(7) = 429
9. C(8) = 1430
10. C(9) = 4862

卡特兰数在计数问题中的应用非常广泛，例如：

1. 括号表达式：卡特兰数用于计算合法的括号表达式的数量。例如，n对括号可以组成多少个合法的括号表达式。
2. 二叉树：卡特兰数用于计算不同的二叉搜索树的数量，其中n个不同的节点按特定的顺序插入。
3. 路径计数：在网格上从左上角到右下角的合法路径数量。
4. 凸多边形三角形的数量：卡特兰数用于计算n边凸多边形的不同三角形数量。

这些只是卡特兰数应用的一部分。它们在组合数学中扮演着重要的角色，帮助解决各种计数和排列问题。

public class Catalan{

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(catalan(3));
    }

    static int catalan(int n) {

        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int j = 2; j < n + 1; j++) {
            for (int i = 0; i < j; i++) {  //第j个卡特兰数的拆分
                System.out.printf("(%d,%d)\t", i, j - 1 - i);
                dp[j] += dp[i]*dp[j-1-i];
            }
//            System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
        return dp[n];
    }

}