什么是极限

极限其实从字面意思很好理解，就是“穷尽”。就好像你去长跑，你一直跑啊跑啊，等你跑不动的时候，你跑过的路程就是你的极限。亦或你一直加速跑，能达到的最快速度就是你的极限。万事万物都有极限，一辆汽车加满一箱油，它的极限包括 极限行驶距离，极限最高速度。同样的，在数学的世界里也有极限。你可能会很好奇，数学是抽象的，是存在于思维的，它怎么会有极限呢？那数学里的极限是什么呢？

数学当然也有极限，看下面这个式子：s=n/(n+1);

请问这个式子当n -> +∞ 时，s是多少？你可能会问，n无穷大 并不是一个具体的数字，所以没法算，但凡给个具体的数字，不管多大都能算，比如n=9999，s=9999/10000=0.9999，比如n=999999999999999，s=999999999999999/1000000000000000=0.999999999999999;

你说的没错，数学是严谨的，没有具体的数字缺失没法进行运算。但是我们现在再设立一个参数D, D=1-s; 于是我们可以得到如下的式子：

不难发现，n 越大，D 越小。如果我们规定 精确D到小数点后面6位（未做特殊说明都采用四舍五入），那是不是就有 n=9999999时，D=0.0000001 ≈0；即 存在如下命题：

D= 1 - s = 1 - n/(n+1)，D精确到小数点后六位，在n>=9999999时 1 - n/(n+1) = 0 => n/(n+1)=1

但是这个命题有个问题，就是它是D在精确到小数点后六位才成立的，所以它并不是一个普适的例子。如果D的精确度要求更高了，这个式子显然不成立了。

但是不用着急，我们已知n 越大，D越小，现在D要求更高的精度，那我们把n变大不就行了吗?即：

无论D的精确度要求多高，我们总能找到 一个足够大的n,使n/(n+1)=1成立。

但是这里还有个瑕疵，就是只要D的精度要求变了，我们就需要找一个足够大的n去使式子成立。那我们何不直接让n非常非常大，这样无论D的精度要求怎么变，这个式子就都成立了。即：

数学表达为：n -> ∞，n/(n+1)=1;

即： 当n趋近于无穷大时，n/(n+1)等于1；

补充： 无穷小 是 指无限接近0但是不等于0。即 |x - 0| = a， a > 0, 但是无论我们取一个多小的数b，b都大于0； b = 0.000001>a; b = 0.0000000001 > a; b=...

现在我们就可以对极限下定义了：

当一个式子（f（x））里的变量 趋近于 x 0时，存在一个常数C, 使得 |f(x0)-C| = 无穷小，那我们就认为f(x)在x=x0处的极限是C。

补充：当f(x)在x=x0处有意义时，我们认为f(x)在x=x0处的极限就是f(x0);

比如 f(x)=x/(x+1); 在x=0处,f(0)=0/(0+1)=0/1=0; 上式每一步分式都是有意义的（不存在分母等于0的情况）；

现在我们知道了什么是极限，那么怎么求一个函数在趋近于某个数时的极限呢？别着急，在解决这个问题前，我们先来看看极限的一些运算法则。

极限的运算法则

1.有限个无穷小的和是无穷小

2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小

2.1. 有限个无穷小的乘积是无穷小

这三条性质我觉得但凡是个正常人一看就明白了吧，所以我就不赘述了。接下来这条性质我觉得是比较重要的

为什么我说很重要，因为定理3包含了四个很重要的东西：加减乘除；四则运算是数学大厦的基石，定理三 相当于给极限的运算打下了基石，在这定理之上我们就可以给极限运算添砖加瓦。

注意！ 极限的加减法可分裂的前提是被分离出来的元素都各自存在极限值！

未完待续...