518. 零钱兑换 II
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。 请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。 假设每一种面额的硬币有无限个。 题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1： 输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出：4 解释：有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1 示例 2： 输入：amount = 3, coins = [2] 输出：0 解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。 示例 3： 输入：amount = 10, coins = [10] 输出：1
提示：
- 1 <= coins.length <= 300
- 1 <= coins[i] <= 5000
- coins 中的所有值 互不相同
- 0 <= amount <= 5000
思路
第一步：确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
定义一个一维动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示组成金额 i 的不同硬币组合数。
第二步：确定递推公式
对于每一种硬币 coin，我们都有两个选择：使用它或者不使用它。
- 如果不使用这个硬币，那么组合数不变，即
dp[i] = dp[i]。 - 如果使用这个硬币，那么组合数变为
dp[i] = dp[i - coin]。
因此，递推公式是 dp[i] = dp[i] + dp[i - coin]。
第三步：dp 数组如何初始化
dp[0] 初始化为 1，表示组成金额为 0 的方式只有一种，即不使用任何硬币。
其余的 dp[i] 初始化为 0。
第四步：确定遍历顺序
首先遍历所有硬币，然后对于每一种硬币，从 coin 到 amount 更新 dp[i]。
第五步：举例推导 dp 数组
假设 amount = 5，coins = [1, 2, 5]。
初始状态：dp = [1, 0, 0, 0, 0, 0]
- 第一个硬币（1）：
dp = [1, 1, 1, 1, 1, 1] - 第二个硬币（2）：
dp = [1, 1, 2, 2, 3, 3] - 第三个硬币（5）：
dp = [1, 1, 2, 2, 3, 4]
最终结果是 dp[5] = 4。
题解
class Solution {
public:
int change(int amount, std::vector<int>& coins) {
std::vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (const auto& coin : coins) {
for (int i = coin; i <= amount; ++i) {
dp[i] += dp[i - coin];
}
}
return dp[amount];
}
};
377. 组合总和 Ⅳ
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。 题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1： 输入：nums = [1,2,3], target = 4 输出：7 解释： 所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。 示例 2： 输入：nums = [9], target = 3 输出：0
提示：
- 1 <= nums.length <= 200
- 1 <= nums[i] <= 1000
- nums 中的所有元素 互不相同
- 1 <= target <= 1000
进阶：如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？
思路
第一步：确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
定义一个一维动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示组成金额 i 的不同组合数。
第二步：确定递推公式
对于每一种数字 num，我们都有两个选择：使用它或者不使用它。
- 如果不使用这个数字，那么组合数不变，即
dp[i] = dp[i]。 - 如果使用这个数字，那么组合数变为
dp[i] = dp[i - num]。
因此，递推公式是 dp[i] = dp[i] + dp[i - num]。
第三步：dp 数组如何初始化
dp[0] 初始化为 1，表示组成金额为 0 的方式只有一种，即不使用任何数字。
其余的 dp[i] 初始化为 0。
第四步：确定遍历顺序
首先遍历从 1 到 target，然后对于每一个 i，更新 dp[i] 的值。
第五步：举例推导 dp 数组
假设 target = 4，nums = [1, 2, 3]。
初始状态：dp = [1, 0, 0, 0, 0]
- 使用第一个数字（1）：
dp = [1, 1, 1, 1, 1] - 使用第二个数字（2）：
dp = [1, 1, 2, 2, 3] - 使用第三个数字（3）：
dp = [1, 1, 2, 3, 4] - 使用所有数字：
dp = [1, 1, 2, 3, 4] -> [1, 1, 2, 3, 4+2] -> [1, 1, 2, 3, 6] -> [1, 1, 2, 3, 6+1] -> [1, 1, 2, 3, 7]
最终结果是 dp[4] = 7。
题解
class Solution {
public:
int combinationSum4(std::vector<int>& nums, int target) {
std::vector<unsigned int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= target; ++i) {
for (const auto& num : nums) {
if (i >= num) {
dp[i] += dp[i - num];
}
}
}
return dp[target];
}
};
注意：这里使用了 unsigned int 类型来避免整数溢出。
