1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。 每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1： 输入：stones = [2,7,4,1,8,1] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。 示例 2： 输入：stones = [31,26,33,21,40] 输出：5

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

思路

这个问题可以转化为一个更熟悉的问题：背包问题。思路是尽量将所有的石头分成两堆，使这两堆的重量尽量接近。在这样的情况下，最后剩下的一块石头（或没有剩下石头）的重量会尽可能小。

第一步：确定dp数组和下标的含义

我们定义一个一维数组 dp，其中 dp[j] 表示是否存在一个子集，其石头的总重量为 j。

第二步：确定递推公式

对于每块石头 stone，我们有两个选择：放入第一堆或第二堆。

• 如果不放入第一堆（即放入第二堆），那么 dp[j] 保持不变。
• 如果放入第一堆，那么 dp[j] 可能会变成 true，即 dp[j] = dp[j] || dp[j - stone]。

第三步：dp数组如何初始化

dp[0] 应该初始化为 true，表示存在一个空子集，其和为 0。其他 dp[j] 初始化为 false。

第四步：确定遍历顺序

首先遍历所有石头，然后对每块石头，从目标值（即所有石头的总重量的一半）向 0 遍历 dp[j]。

第五步：举例推导dp数组

假设 stones = [2, 7, 4, 1, 8, 1]，则所有石头的总重量为 23，目标值为 11.5。

初始化 dp = [true, false, ..., false]（长度为 12）。

• 第一块石头（2）：dp[11] = dp[11] || dp[9] = false || false = false
• 第二块石头（7）：dp[11] = dp[11] || dp[4] = false || false = false
• 第三块石头（4）：dp[11] = dp[11] || dp[7] = false || true = true
• 以此类推...

最终结果是 dp[11] = true。

题解

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(std::vector<int>& stones) {
        int sum = std::accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
        int target = sum / 2;
        std::vector<bool> dp(target + 1, false);
        dp[0] = true;
        
        for (int stone : stones) {
            for (int j = target; j >= stone; --j) {
                dp[j] = dp[j] || dp[j - stone];
            }
        }
        
        for (int j = target; j >= 0; --j) {
            if (dp[j]) {
                return sum - 2 * j;
            }
        }
        
        return sum;
    }
};

494. 目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。 向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1： 输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3 输出：5 解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。 -1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3 示例 2： 输入：nums = [1], target = 1 输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

思路

将问题转化为一个子集和问题：找到一个子集，使得该子集的元素之和等于 (sum(nums) + target) / 2。

第一步：确定dp数组和下标的含义

定义一个一维数组 dp，其中 dp[j] 表示和为 j 的子集的个数。

第二步：确定递推公式

对于每个数字 num，我们有两个选择：加上或减去。

• 如果不加上 num，则 dp[j] 保持不变。
• 如果加上 num，则 dp[j] += dp[j - num]。

第三步：dp数组如何初始化

dp[0] 应该初始化为 1，表示只有一个空子集的和为 0。

第四步：确定遍历顺序

首先遍历所有数字，然后对每个数字，从目标值向 0 遍历 dp[j]。

第五步：举例推导dp数组

假设 nums = [1, 1, 1, 1, 1]，target = 3。

首先计算 sum(nums) = 5，然后计算目标值 new_target = (5 + 3) / 2 = 4。

初始化 dp = [1, 0, 0, ..., 0]（长度为 new_target + 1）。

• 第一个数字（1）：dp[4] += dp[3] => dp[4] = 0 + 1 = 1
• 第二个数字（1）：dp[4] += dp[3] => dp[4] = 1 + 1 = 2
• 以此类推...

最终结果是 dp[4] = 5。

题解

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(std::vector<int>& nums, int target) {
        int sum = std::accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum < target || (sum + target) % 2 != 0) return 0;
        if (abs(target) > sum) return 0;
        int new_target = (sum + target) / 2;
        std::vector<int> dp(new_target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        
        for (int num : nums) {
            for (int j = new_target; j >= num; --j) {
                dp[j] += dp[j - num];
            }
        }
        
        return dp[new_target];
    }
};

474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。 请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。 如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1： 输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3 输出：4 解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。 示例 2： 输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1 输出：2 解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
• 1 <= m, n <= 100

思路

这个问题是一个多维 0-1 背包问题的变体。在这个问题中，我们有两个“背包”：一个用于计数 0，另一个用于计数 1。每个字符串都需要一定数量的 0 和 1。我们的目标是找到最多可以包含的字符串数量，同时不超过 m 个 0 和 n 个 1。

第一步：确定dp数组和下标的含义

定义一个二维动态规划数组 dp[i][j]，其中 dp[i][j] 表示使用 i 个 0 和 j 个 1 最多可以组成的字符串数量。

第二步：确定递推公式

对于每个字符串，我们有两个选择：包括它或不包括它。

如果我们包括这个字符串，那么 dp[i][j] = dp[i - zeroCount][j - oneCount] + 1。

如果我们不包括这个字符串，那么 dp[i][j] 保持不变。

递推公式为：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroCount][j - oneCount] + 1)。

第三步：dp数组如何初始化

dp[0][0] 初始化为 0，表示没有使用任何 0 和 1 时，最多可以组成 0 个字符串。

第四步：确定遍历顺序

首先遍历所有字符串，然后对于每个字符串，从 m 到 zeroCount，从 n 到 oneCount 更新 dp[i][j]。

第五步：举例推导dp数组

假设 strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"]，m = 5，n = 3。

初始状态：dp[0][0] = 0

• 第一个字符串（"10"）：dp[5][3] = max(dp[5][3], dp[4][2] + 1) = max(0, 1) = 1
• 第二个字符串（"0001"）：dp[5][3] = max(dp[5][3], dp[2][2] + 1) = max(1, 1) = 1
• 以此类推...

最终结果是 dp[5][3] = 4。

题解

class Solution {
public:
    int findMaxForm(std::vector<std::string>& strs, int m, int n) {
        std::vector<std::vector<int>> dp(m + 1, std::vector<int>(n + 1, 0));
        for (const auto& str : strs) {
            int zeroCount = 0, oneCount = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroCount++;
                else oneCount++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroCount; i--) {
                for (int j = n; j >= oneCount; j--) {
                    dp[i][j] = std::max(dp[i][j], dp[i - zeroCount][j - oneCount] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};