线性Dp之最长公共子序列问题
题目链接：897. 最长公共子序列 - AcWing题库
状态表示
f[i][j]
集合：所有在第一个序列的前i个字母中出现且在第二个序列的前j个字母中出现的子序列
属性：MAX
状态计算
集合划分：按是否选择a[i][j]划分为四种情况:00 01 10 11
情况一：00 a[i]与b[i]都不选
f[i-1][j-1]:所有在第一个序列的前i-1个字母中出现且在第二个序列的前j-1个字母中出现的子序列
情况四：11 a[i]与b[i]都选
前提条件：a[i] == b[j]
f[i-1][j-1] + 1 所有在第一个序列的前i-1个字母中出现且在第二个序列的前j-1个字母中出现的子序列 + 1(最后一个必有)
情况二与情况三
以情况二为例，a[i]不选，b[j]选，并不是f[i -1][j],f[i -1][j]含义是所有在第一个序列的前i-1个字母中出现且在第二个序列的前j个字母中出现的子序列，它包含情况二，但是因为求最大值，且f[i -1][j]又包含于f[i][j],因此即使重复也无所谓，故可以用f[i -1][j]的最大值来代替情况二的最大值，情况三同理
注意：情况一被情况二三所包含，所以可以省去
代码实现
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
char a[N],b[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
cin >> a[i];
for(int i = 1; i <= m; i ++ )
cin >> b[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
for(int j = 1; j <= m; j ++ )
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - 1]);
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - 1] + 1);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
