Pillai's arithmetic function
定义：求前n个数分别和n的最大公约数的和。详细见维基百科（下图）
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那么如何高效求出函数值P(n)呢？且n很大，例如 n := 1:1e11。（取10^11是为了秒出结果，因为开方后不超过百万）
这个数论问题，具体实现需要用到因数分解，线性素数筛，质因数分解，欧拉函数，也得知道这个公式。
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1、先因数分解，我算了下，10^11的因数才只有144个。
2、然后就是求单个欧拉数，不可能用线性欧拉筛，存不下，也没时间。只能需要哪个求哪个（在线算法）。
单个欧拉数求法，直接用定义。百度百科：
3、要快速求出欧拉数，就需要质因数分解，求出素因数。这求需要线性素数筛求p[i].虽然n很大，但是开方一次就不过百万了。
4、得到素因数，进而求出欧拉数，再进而求出 Pillai's arithmetic function 值。
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输入n；输出 P[n]。（ Pillai's arithmetic function ）
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
long long v[150]; //1e11
const int N = 320000;
bool vis[N + 1];
int p[27610], cnt_p; //存素数 27608
int getPrime(int n) {
memset(vis, 1, sizeof vis);
int cnt = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (vis[i]) p[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && (i * p[j] <= n); ++j) {
vis[i * p[j]] = 0;
if (i % p[j] == 0) break;
}
}
return cnt;
}
vector <long long> work(long long num) {
vector<long long> vec;
for (int i = 0; i < cnt_p; ++i) {
if (num % p[i] == 0) {
vec.push_back(p[i]);
while (num % p[i] == 0) num /= p[i];
}
if (num <= 1) break;
} //得到了素因数
if (num > 1) vec.push_back(num);
return vec;
}
long long phi(long long n) {
long long res = n;
vector<long long> v = work(n);
for (int i = 0; i < v.size(); ++i) {
res = res / v[i] * (v[i] - 1);
}
return res;
}
int main()
{
cnt_p = getPrime(N);
//cout << phi(37) << endl;
long long n;
while (~scanf("%lld", &n)) {
if (n <= 1) { printf("%lld\n", n); continue; }
long long m = sqrt(n + 0.5), sz = 0;
v[sz++] = 1;
for (int i = 2; i <= m; ++i) {
if (n % i == 0) {
v[sz++] = i;//存因数
v[sz++] = n / i;
}
}
if (m * m == n) sz--; if (n > 1) v[sz++] = n;
long long res = 0;
for (int i = 0; i < sz; ++i) {
res += v[i] * phi(n / v[i]);
}
printf("%lld\n", res);
}
return 0;
}
上面介绍的是A题。
B题是调和级数求和。当n不大时，直接用定义，当n足够大时，精度变化就不大了，直接用近似算法:
sum(n) = log`` (n + 0.5) + phi; // ``const double phi = 0.57721566490153286060651209;
C题二分，注意结果要求尽量小，所以结果只可能以5或0结尾。
H题，最小生成树。prim算法或者kruskal算法。我用的kruskal算法。
D题过的人也不少，我卡死在了A题。因为质因数筛选时边界问题没处理好。打饭排队时想到的bug.
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