斐波那契与二分查找
引子
今天我们来探讨一个有趣的问题，如果兔子遇到莱昂纳多·斐波那契，那明年有几只兔子呢？
我们知道意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在《算法全书》中提出了 斐波那契兔子问题(Fibonacci rabbit problem) 一道著名数列难题~
注意，我们的兔永远不会去世~而且一个月后就成年，成年之后就继续生一对
- 第一个月：一小兔1
- 第二个月：小兔1长成大兔1
- 第三个月：大兔1生了一只小兔2
- 第四个月：大兔1又生了一直小兔3，小兔2长成了大兔2
- ......
斐波那契兔子数列问题建模
对上述的斐波那契“兔”问题进行建模可以得到斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89
数列从第三项开始，每一项等于前两项之和，我们要求明年月亮上拥有多少兔，也就是数列的第12项~
我们将数学问题转换成计算机编程问题：
写一个函数，输入 nnn ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 nnn 项（即 F(N)F(N)F(N)）。
斐波那契数列的定义如下： F(0)=0,F(1)=1F(0) = 0, F(1) = 1F(0)=0,F(1)=1 F(N)=F(N−1)+F(N−2)F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)F(N)=F(N−1)+F(N−2), 其中 N>1N > 1N>1.
斐波那契数列由 第三项 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
解析
法一：暴力递归
就直接暴力递归，就可以算出我们需要的答案
创造一个函数，这个函数的作用就是查找当月的兔子数量，而当月的兔子数量又是前两个月的兔子之和，所以我们可以在返回值里面递归调用这个函数，输入n-1与n-2，也就是求前两个月的兔子，但是这个递归要有一个退出条件，如果没有的话，就会无限调用堆栈，造成死循环。而在这个方法里面退出的条件就是找到第0个月或者第一个月的时候，直接返回1，这里返回一的意思是已经找到最初的兔子数量，然后这里递归到最后的fib函数已经有返回值了，会把这个返回值直接返回上一层fib的调用，这样一层层逆着将返回值全部返回来，就求出目前月的兔子数量
首先一个问题就是这里重复递归的次数实在是太多了，疯狂的调用堆栈，导致计算机的性能急剧下降，比如说我要求fib(5)， 如图可视，我们重复求解了多次fib(2)和fib(3)其实这是没有必要的，我们可以用一个缓存cache，来将我们求过了的fib(n)保存在缓存中，下次用到他的时候直接读取他的值就可以了，而不是再重新递归求值。
递归 + 缓存
法二：循环三指针
由于从第三个月开始，当月兔子等于前两个月兔子之和，那么我们可以创造三个指针，第a个指针指向第一个月，第b个指针指向第二个月，第c个指针指向第三个月，第三个月的兔子等于一二月兔子加起来，就是c指针等于ab指针之和。当月数增加的时候，只需让abc三个指针向后移动一位即可，随后三个指针发生相应的变化，a指针到了之前b指针的位置，所以就是a=b，b指针到了c指针的位置，所以是b=c，c指针还是等于ab之和，所以c=a+b，这样将其带入之后，就可以得到第n个月之后的兔子，同时因为循环不会疯狂调用堆栈，多以也不会产生效率底下的问题。
二分查找原理
二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。二分查找的思想非常简单，有点类似分治的思想。二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。
为了方便理解，我们以数组1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 15, 19, 23, 26, 29, 34, 39，在数组中查找26为例，制作了一张查找过程图，其中low标示左下标，high标示右下标，mid标示中间值下标
二分查找的过程就像上图一样，如果中间值大于查找值，则往数组的左边继续查找，如果小于查找值这往右边继续查找。二分查找的思想虽然非常简单，但是查找速度非常长，二分查找的时间复杂度为O(logn)。虽然二分查找的时间复杂度为O(logn)但是比很多O(1)的速度都要快，因为O(1)可能标示一个非常大的数值，比例O(1000)。
局限性
二分查找依赖数组结构
二分查找需要利用下标随机访问元素，如果我们想使用链表等其他数据结构则无法实现二分查找。
二分查找针对的是有序数据
二分查找需要的数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。
但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。
所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用
数据量太小不适合二分查找
如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多，只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。
数据量太大不适合二分查找
二分查找底层依赖的是数组，数组需要的是一段连续的存储空间，所以我们的数据比较大时，比如1GB，这时候可能不太适合使用二分查找，因为我们的内存都是离散的，可能电脑没有这么多的内存。
代码实现
递归
递归的概念
在程序中函数直接或间接调用自己
- 直接调用自己
- 间接调用自己 跳出结构,有了跳出才有结果
递归的思想
递归的调用,最终还是要转换为自己这个函数
- 如果有个函数foo,如果他是递归函数,到最后问题还是转换为函数foo的形式
- 递归的思想就是将一个未知问题转换为一个已解决的问题来实现
递归的步骤(技巧)
- 假设递归函数已经写好
- 寻找递推关系
- 将递推关系的结构转换为递归体
- 将临界条件加入到递归体中
