一元多项式的计算

今天来看一个简单的算法，计算一元多项式的值。

暴力求值

对于多项式 $f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx$，最基本的计算思路就是逐次计算每一项，将结果相加。

应该将一个多项式抽象成什么样的数据结构呢？

注意到对于一个 $n$ 次多项式，其系数刚好可以构成一个线性结构，因此可以用一个数组表示。

因此，我们可以写出如下的代码

pub fn evaluate_v1(coefficients: Vec<i32>, x: i32) -> i32 {
  let mut res = 0;
  for (i, a) in coefficients.iter().enumerate() {
    let mut temp = 1;
    // calculate x to the ith power
    for _ in 0..i {
      temp = temp * x as i32;
    }
    res = res + a * temp;
  }
  res
}

优化

以上代码虽然可以求值，但是在计算 $x^i$ 时进行了大量的重复运算。

事实上，每一次外层循环都已经计算了当前的 $x^i$，在下一次循环时，只需要计算 $x^{i+1} = x^i \times x$ 就可以了。

pub fn evaluate_v2(coefficients: Vec<i32>, x: i32) -> i32 {
  let mut res = 0;
  let mut temp = 1;
  for (i, a) in coefficients.iter().enumerate() {
    // calculate x to the ith power, note x to the 0 power is 1
    if i > 0 {
      temp = temp * x as i32;
    }
    res = res + a * temp;
  }
  res
}

一共是进行了 $n + 1$ 次加法和 $2n + 1$ 次乘法。

秦九韶算法(Horner's Rule)

秦九韶算法是一个高效的求解一元高次多项式值的算法，具体的原理如下：

对于 $n$ 次多项式 $f(x) = a_n x ^ n + a_{n - 1} x ^ {n - 1} + a_{n - 2} x ^ {n - 2} + \dots + a_2 x ^ 2 + a_1 x + a_0$

将前 $n$ 项提取公因子 $x$，得

再将括号内的前 $n - 1$ 项提取公因子 $x$，得

如此反复提取公因子 $x$，最后将方程化为

令

$f_1 = a_nx + a_{n - 1}$

$f_2 = f_1x + a_{n - 2}]$

$f_3 = f_2x + a_{n - 3}$

$\dots$

$f_n = f_{n-1}x + a_0$

注意到第 $2$ 到第 $n$ 项可以得到一个递推式

令$f_0 = a_{n + 1}x + a_n$， $a_{n + 1} = 0$，可以得到

因此，我们可以写出如下代码

pub fn evaluate_v3(coefficients: Vec<i32>, x: i32) -> i32 {
  let mut res = 0;
  for i in (0..coefficients.len()).rev() {
    res = coefficients[i] + res * x;
  }
  res
}

第一次循环计算的是 $f_0 = a_{n + 1}x + a_n$，以此类推，最终只需要 $n + 1$ 次乘法和 $n + 1$ 次加法完成求值。

总结

今天我们一步一步的完成了一个高效的求一元多项式值的算法。

但是有一点小问题： 对于一个稀疏多项式，使用一元数组存储会造成极大的空间浪费。