快速排序（续）

小xu
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4.3 再谈大 O 表示法

快速排序的独特之处在于，其速度取决于选择的基准值。在讨论快速排序的运行时间前，我们再来看看最常见的大O运行时间。

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上述图表中的时间是基于每秒执行10次操作计算得到的。这些数据并不准确，这里提供它们只是想让你对这些运行时间的差别有大致认识。实际上，计算机每秒执行的操作远不止10次。

对于每种运行时间，本书还列出了相关的算法。来看看第2章介绍的选择排序，其运行时间为O(n2 )，速度非常慢。

还有一种名为合并排序（merge sort）的排序算法，其运行时间为O(n log n)，比选择排序快得多！快速排序的情况比较棘手，在最糟情况下，其运行时间为O(n2 )。

与选择排序一样慢！但这是最糟情况。在平均情况下，快速排序的运行时间为O(n log n)。你可能会有如下疑问。

  • 这里说的最糟情况和平均情况是什么意思呢？

  • 若快速排序在平均情况下的运行时间为O(n log n)，而合并排序的运行时间总是O(n log n)，为何不使用合并排序？它不是更快吗？

4.3.1 比较合并排序和快速排序

假设有下面这样打印列表中每个元素的简单函数。

def print_items(list):

for item in list:

print item

这个函数遍历列表中的每个元素并将其打印出来。它迭代整个列表一次，因此运行时间为 O(n)。现在假设你对这个函数进行修改，使其在打印每个元素前都休眠1秒钟。

from time import sleep

def print_items2(list):

for item in list:

sleep(1)

print item

它在打印每个元素前都暂停1秒钟。假设你使用这两个函数来打印一个包含5个元素的列表。

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这两个函数都迭代整个列表一次，因此它们的运行时间都为O(n)。你认为哪个函数的速度更快呢？我认为print_items要快得多，因为它没有在每次打印元素前都暂停1秒钟。因此，虽然使用大O表示法表示时，这两个函数的速度相同，但实际上print_items的速度更快。在大O表示法O(n)中，n实际上指的是这样的。

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c是算法所需的固定时间量，被称为常量。例如，print_ items所需的时间可能是10毫秒 *n，而print_items2所需的时间为1秒 * n。

通常不考虑这个常量，因为如果两种算法的大O运行时间不同，这种常量将无关紧要。就拿二分查找和简单查找来举例说明。假设这两种算法的运行时间包含如下常量。

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你可能认为，简单查找的常量为10毫秒，而二分查找的常量为1秒，因此简单查找的速度要快得多。现在假设你要在包含40亿个元素的列表中查找，所需时间将如下。

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正如你看到的，二分查找的速度还是快得多，常量根本没有什么影响。

但有时候，常量的影响可能很大，对快速查找和合并查找来说就是如此。快速查找的常量比合并查找小，因此如果它们的运行时间都为O(n log n)，快速查找的速度将更快。实际上，快速查找的速度确实更快，因为相对于遇上最糟情况，它遇上平均情况的可能性要大得多。

此时你可能会问，何为平均情况，何为最糟情况呢？

4.3.2 平均情况和最糟情况

快速排序的性能高度依赖于你选择的基准值。假设你总是将第一个元素用作基准值，且要处理的数组是有序的。由于快速排序算法不检查输入数组是否有序，因此它依然尝试对其进行排序。

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注意，数组并没有被分成两半，相反，其中一个子数组始终为空，这导致调用栈非常长。现在假设你总是将中间的元素用作基准值，在这种情况下，调用栈如下。

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调用栈短得多！因为你每次都将数组分成两半，所以不需要那么多递归调用。你很快就到达了基线条件，因此调用栈短得多。

第一个示例展示的是最糟情况，而第二个示例展示的是最佳情况。在最糟情况下，栈长为O(n)，而在最佳情况下，栈长为O(log n)。

现在来看看栈的第一层。你将一个元素用作基准值，并将其他的元素划分到两个子数组中。这涉及数组中的全部8个元素，因此该操作的时间为O(n)。在调用栈的第一层，涉及全部8个元素，但实际上，在调用栈的每层都涉及O(n)个元素。

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即便以不同的方式划分数组，每次也将涉及O(n)个元素。

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因此，完成每层所需的时间都为O(n)。

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在这个示例中，层数为O(log n)（用技术术语说，调用栈的高度为O(log n)），而每层需要的时间为O(n)。因此整个算法需要的时间为O(n) * O(log n) = O(n log n)。这就是最佳情况。

在最糟情况下，有O(n)层，因此该算法的运行时间为O(n) * O(n) = O(n2 )。知道吗？这里要告诉你的是，最佳情况也是平均情况。只要你每次都随机地选择一个数组元素作为基准值，快速排序的平均运行时间就将为O(n log n)。快速排序是最快的排序算法之一，也 是D&C典范

4.4 小结

  • D&C将问题逐步分解。使用D&C处理列表时，基线条件很可能是空数组或只包含一个元素的数组。

  • 实现快速排序时，请随机地选择用作基准值的元素。快速排序的平均运行时间为O(n log n)。

  • 大O表示法中的常量有时候事关重大，这就是快速排序比合并排序快的原因所在。

  • 比较简单查找和二分查找时，常量几乎无关紧要，因为列表很长时，O(log n)的速度比O(n)

  • 快得多。

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