动态规划之完全背包问题

特点

每一件物品都可以无限使用

状态表示与01背包相同

f[i][j] 前i个物品，总体积<= j，存放的值为最大价值

状态计算

划分原则是按第i个物品选了多少个
1）第i个物品选0个时，f[i -1][j]
2）第i个物品选k个时 f[i][j] = f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i] (具体证明在图片中)
3）k = 0时即为第一种情况，二者可合二为一

暴力写法 TLE

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int n,m;
int f[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
      cout << f[n][m] << endl;
      return 0;
}

时间复杂度优化

具体证明在图片中
优化后i层只与i - 1层有关 时间复杂度O(n(m + 1))

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int n,m;
int f[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
           {
               f[i][j] = f[i - 1][j];
              if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j - v[i]] + w[i]);
           }
      cout << f[n][m] << endl;
      return 0;
}

空间复杂度优化

二维 ——> 一维

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N],w[N];
int n,m;
int f[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++ )
              f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
      cout << f[m] << endl;
      return 0;
}

优化后的代码与01背包问题唯一的不同是j的遍历顺序是从小到大即可