01背包问题

特点

每件物品最多用一次。
N件物品每件物品价值不一，容量为V的背包，每件物品只能用一次,求最大价值

Dp思路

划分

PS:字很丑请见谅

划分为两大类

1）不含i,即在1~i-1当中选择总体积 <= j的，即f[i - 1][j]
2) 含i,即在1~i中选择总体积 <= j 的且一定含i,即f[i][j] ,可以先把第i个物品拿出来，即从第 1 ~ i-1中选，且总体积不超过 j-v[i] ,即f[i-1][j - v[i]] + w[i]

暴力代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n ; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
            {
               f[i][j] = f[i - 1][j];
               if(j >= v[i])  f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            }
         cout << f[n][m] << endl;
         return 0;
}

优化

Dp所有优化都是对代码的等价转换

时间无法再优化，对空间进行优化，二维-->一维,删去第一个维度，保留第二个维度

优化代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n ; i ++ )
        for(int j = m; j >= v[i]; j --) //j从大到小递增
            {
              f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
            }
         cout << f[m] << endl;
         return 0;
}

一开始我的疑惑点在于：当J从小到大递增时，每次J都可以基于J - vi算出来但是我忽略了一个问题：当J从小到大递增时，i是不变的，也就是说基于J - vi求出来的J都是同一个i 如果用没有降维之前来表示的话是这样的：

f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]) 但正确的表示方式应该是这样的：

f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]) 那为什么当J从大到小更新时就可以满足了呢？其实楼主给出的推导过程已经很明确了加入还是计算f[j] 同样的想要计算J还是要基于J - vi, 此时元素个数是 i 由之前的二维模式可以知道要计算f[i][j]需要基于f[i - 1][j - vi]来求得

由于J是降序的，也就是说当计算J时，J - vi还没有被更新（J - vi < J），也就是说此时的 J - vi对应的还是上一轮的i - 1，正好可以满足需求所以J只能是从大到小来遍历

动态规划之01背包问题