【数据结构八】树的存储结构以及遍历和哈夫曼树

树的存储结构

• 顺序存储（双亲表示法）
  • 每个结点中保存指向双亲的“指针”（位置下标）

#define MAX_TYPE_SIZE 100  //树中最多结点数
typedef struct{
	ElemType data; //数据元素
	int parent;  //双亲位置域 
}PTNode;
typedef struct{ //树的类型定义
	PTNode nodes[MAX_TYPE_SIZE]; //双亲表示
	int n;   //结点数 
}PTree; 

• 顺序+链式存储（孩子表示法）
  • 顺序存储各个结点，每个结点中保存孩子链表头指针

//顺序+链式
struct CTNode{
	int child; //孩子结点在数组中的位置
	struct CTNode *next;  //下一个孩子 
};
typedef struct{
	ElemType data;
	struct CTNode *firstChild; //第一个孩子 
}CTBox;
typedef struct{
	CTBox nodes[MAX_TYPE_SIZE];
	int n, r; //结点数和根的位置 
}CTree; 

• 链式存储（孩子兄弟表示法）

• 总结

树的遍历

//树的先根遍历 —— （深度优先遍历）
void PreOrder(TreeNode *R){
    if(R != NULL){
        visit(R); //访问根节点
        while(R还有下一个子树T)
            PreOrder(T);  //先根遍历下一棵子树
        }
}
//树的后根遍历 —— （深度优先遍历）
void PostOrder(TreeNode *R){
    if(R != NULL){
        while(R还有下一个子树T)
            PostOrder(T);  //先根遍历下一棵子树
        }
        visit(R); //访问根节点
}
//树的层序遍历 —— （广度优先遍历）
1. 若树非空，则根节点入队
2. 若队列非空，队头元素出队并访问，同时将该元素的孩子依次入队
3. 重复（2）直到队列为空

哈夫曼树

• 基本概念
  • 结点的权：有某种现实含义的数值（如：表示结点的重要性等）
  • 结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积
  • 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
• 在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL)最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树

哈夫曼树的构造

--给定n个权值分别为W1, W2, W3,...,Wn的结点，构造算法如下：

• 将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F
• 构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和’
• 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中
• 重复步骤2, 3, 直至F中只剩下一棵树为止

• 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径越大
• 哈夫曼树的结点总数为2n-1
• 哈夫曼树中不存在度为1的结点
• 哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优

哈夫曼编码

总结：