示例1：计算算法的时间复杂度和空间复杂度

理解算法的时间复杂度和空间复杂度是评估算法效率的关键。下面我们通过实例来详细说明如何计算算法的时间复杂度和空间复杂度。

示例1: 线性搜索

假设我们有一个包含 n 个元素的数组，并且我们想要找到一个特定的值。一个简单的方法是线性搜索，代码如下：

def linear_search(arr, target):
    for i in range(len(arr)):
        if arr[i] == target:
            return i
    return -1

时间复杂度分析:

• for 循环会执行 n 次（数组的长度），因此循环内的操作会执行 n 次。
• if 语句的比较操作是常数时间，即 O(1)。

综上，总的时间复杂度是 (O(n \cdot 1) = O(n))。

空间复杂度分析:

• 除了输入数组，我们只使用了几个额外的变量 (i 和 target)，因此额外的空间复杂度是 O(1)。

示例2: 二维数组求和

假设我们有一个 m 行 n 列的二维数组，我们想要计算所有元素的和，代码如下：

def matrix_sum(matrix):
    total_sum = 0
    for row in matrix:
        for elem in row:
            total_sum += elem
    return total_sum

时间复杂度分析:

• 外层 for 循环会执行 m 次（数组的行数）。
• 内层 for 循环会执行 n 次（数组的列数）。

由于内层循环对于每个外层循环都会执行，所以总的时间复杂度是 (O(m \cdot n))。

空间复杂度分析:

• 除了输入数组，我们只使用了一个额外的变量 (total_sum)，因此额外的空间复杂度是 O(1)。

通过这些例子，我们可以看到，时间复杂度和空间复杂度的计算主要依赖于算法的结构和操作。循环通常是时间复杂度分析的主要部分，而额外创建的数据结构（如数组、队列、堆栈等）通常是空间复杂度分析的关键。通过分析算法的主要结构和操作，我们可以估计算法在不同输入规模下的效率和资源需求，从而做出更好的编程决策。